Q3. ( 2,5 pontos) Um feixe de luz monocromática de um laser de Hélio-Neônio, com comprimento de onda \lambda=633 \mathrm{~nm}, incide perpendicularmente sobre uma fenda vertical de largura a=0,200 \mathrm{~mm}. O padrão de difração é observado em um anteparo localizado a uma distância D=2,50 \mathrm{~m} da fenda.
a) Calcule o ângulo \theta (em radianos) correspondente à posição do primeiro mínimo de difração (1,0 pontos).
b) Determine a largura linear (em mm ) do máximo central de difração no anteparo, ou seja, a distância entre o primeiro mínimo à esquerda e o primeiro mínimo à direita do centro (1,0 pontos).
c) O que acontece com a largura do máximo central se substituirmos a fenda por uma ainda mais estreita? Justifique brevemente ( 0,5 pontos).

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, palavra por palavra (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • comprimento de onda do laser: \lambda=633\\ \mathrm{nm}.
    • largura da fenda: a=0,200\\ \mathrm{mm}.
    • distância da fenda ao anteparo: D=2,50\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular o ângulo \theta (em radianos) do primeiro mínimo de difração (1,0 ponto).
    (b) Determinar a largura linear do máximo central no anteparo, ou seja, a distância entre o primeiro mínimo à esquerda e o primeiro mínimo à direita do centro (em mm) (1,0 ponto).
    (c) Explicar o que acontece com a largura do máximo central se a fenda for substituída por outra mais estreita (0,5 ponto).

Passo 2

Apresentar a fórmula que usamos e explicar por que ela vale.
  • Para difração por fenda simples, os mínimos ocorrem quando ondas vindas de pontos diferentes da fenda se cancelam. A condição de mínimo é
a\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (em metros),
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo central até o mínimo,
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros),
  • m é um inteiro não nulo ( m=\pm1,\pm2,\ldots).
    O primeiro mínimo corresponde a m=\pm1. Portanto usamos
a\sin\theta = \lambda.
Explicação didática curta: essa fórmula vem de exigir que trajetos de partes separadas da fenda tenham diferença de fase igual a 2\pi, produzindo interferência destrutiva no ângulo \theta.

Passo 3

Converter unidades para o SI (metros) e calcular \sin\theta.
  • Converter comprimento de onda:
\lambda = 633\\ \mathrm{nm} = 633\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 6,33\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Converter largura da fenda:
a = 0,200\\ \mathrm{mm} = 0,200\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando a\sin\theta=\lambda com m=1:
\sin\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{6,33\times10^{-7}}{2,00\times10^{-4}} = 3,165\times10^{-3}.

Passo 4

Calcular o ângulo \theta (parte a) e comentar sobre aproximação.
  • Para ângulos pequenos (quando \sin\theta\ll1) vale \theta\approx\sin\theta em radianos. Aqui \sin\theta=3,165\times10^{-3} é pequeno, então
\theta \approx 3,165\times10^{-3}\\ \text{rad}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
\theta \approx 3,17\times10^{-3}\\ \text{rad}.
Breve comentário: calcular \theta=\arcsin(3,165\times10^{-3}) daria quase o mesmo valor porque a diferença é desprezível para números tão pequenos.

Passo 5

Determinar a posição linear do primeiro mínimo no anteparo (passo para parte b).
  • A posição y_1 (distância do centro até o primeiro mínimo) é dada por
y_1 = D\tan\theta,
onde D é a distância fenda-anteparo. Para \theta pequeno a aproximação \tan\theta\approx\theta vale, então
y_1 \approx D\theta.
Aqui D=2,50\\ \mathrm{m} e \theta\approx3,165\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}, logo
y_1 \approx 2{,}50\times 3{,}165\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 7{,}9125\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
y_1 \approx 7{,}9125\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Calcular a largura linear do máximo central (parte b, continuação).
  • A largura do máximo central é a distância entre o primeiro mínimo à esquerda e o primeiro mínimo à direita, ou seja 2y_1. Assim
\text{largura} = 2y_1 \approx 2\times7{,}9125\\ \mathrm{mm} = 15{,}825\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\text{largura} \approx 15{,}8\\ \mathrm{mm}.
Observação numérica sobre precisão: usar \tan\theta em vez de \theta mudaria o valor por uma quantidade extremamente pequena (ordem de 10^{-8} relativo), então a aproximação é segura aqui.

Passo 7

Responder qualitativamente o item (c) com justificativa física curta e direta.
  • Da condição do mínimo \sin\theta=\lambda/a (ou, para ângulos pequenos, \theta\approx\lambda/a), vê-se que \theta é inversamente proporcional a a. Portanto, se a fenda fica mais estreita ( a diminui), o ângulo \theta do primeiro mínimo aumenta e a largura do máximo central no anteparo aumenta.
  • Resumindo: fenda mais estreita → difração mais pronunciada → máximo central mais largo.

Resposta

(a) \theta \approx 3,17\times10^{-3}\\ \text{rad}
(b) largura do máximo central \approx 15,8\\ \mathrm{mm}
(c) A largura aumenta. Justificativa: \theta\approx\lambda/a, logo diminuir a aumenta \theta e alarga o máximo central.

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