Diga quais das afirmações são falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:
Existe um único polinômio de grau 3 tendo raízes 1,2 e 3 .
Existe um único polinômio de grau 3 tendo raízes 1,2 e 3 .
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um único polinômio de grau 3 cujas raízes são 1, 2 e 3. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Fator em polinômios e a forma geral de um polinômio de grau 3 com raízes dadas.
Passo 2
Pelo Teorema do Fator, se
é um polinômio de grau 3 que tem exatamente as raízes
,
e
, então ele se escreve como
em que
é uma constante não nula. Note que, para qualquer
, o grau de
continua sendo 3.
Passo 3
Como
pode ser qualquer número real não nulo, há infinitos polinômios de grau 3 que se anulam em
,
e
. Apenas se impusermos mais uma condição, por exemplo
(polinômio mônico), teremos unicidade.
Resposta
A afirmação é falsa.