Diga quais das afirmações são falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:
x^{3}+x-2 tem uma única raiz real simples.

Passo 1

O enunciado afirma que o polinômio f(x)=x^3+x-2 tem exatamente uma raiz real e que essa raiz é simples. Vamos usar o estudo da derivada (monotonicidade) e o Teorema do Valor Intermediário para concluir isso.

Passo 2

Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2+1.
Como 3x^2\ge0 para todo x, segue que f'(x)=3x^2+1>0 em \mathbb{R}. Logo, f é estritamente crescente e, portanto, pode ter no máximo uma raiz real.

Passo 3

Para garantir que há pelo menos uma raiz real, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário. Note que
f(1)=1^3+1-2=0,
portanto x=1 é raiz. Como f é estritamente crescente, não existe outra raiz real. Assim, há exatamente uma raiz real.

Passo 4

Para checar que essa raiz é simples, avaliamos a derivada em x=1:
f'(1)=3\cdot1^2+1=4\neq0.
Como a derivada não se anula na raiz, ela é de multiplicidade 1, ou seja, simples.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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