Diga quais das afirmações são falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:
O polinômio
é múltiplo de
, para todo número natural
.
O polinômio
Passo 1
O enunciado pergunta se o polinômio
é múltiplo de
para todo número natural
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Resto para polinômios: um polinômio
é divisível por
se, e somente se,
.
Passo 2
Para testar a divisibilidade por
, note que
quando
. Logo, aplicamos o Teorema do Resto a
e calculamos
Passo 3
O valor
anula o polinômio se e somente se
Sabemos que
ocorre exatamente quando
é par.
Passo 4
Portanto,
é múltiplo de
somente para
par. A afirmação “para todo
” é falsa, pois falha para os valores ímpares de
.
Resposta
A afirmação é falsa.