Diga quais das afirmações são falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:
O polinômio x^{n}-1 é múltiplo de x+1, para todo número natural n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pergunta se o polinômio x^{n}-1 é múltiplo de x+1 para todo número natural n\geq1. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Resto para polinômios: um polinômio P(x) é divisível por x - a se, e somente se, P(a)=0.

Passo 2

Para testar a divisibilidade por x+1, note que x+1=0 quando x=-1. Logo, aplicamos o Teorema do Resto a
P(x)=x^{n}-1
e calculamos
P(-1)=(-1)^{n}-1.

Passo 3

O valor P(-1) anula o polinômio se e somente se
(-1)^{n}-1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (-1)^{n}=1.
Sabemos que (-1)^{n}=1 ocorre exatamente quando n é par.

Passo 4

Portanto, x^{n}-1 é múltiplo de x+1 somente para n par. A afirmação “para todo n\geq1” é falsa, pois falha para os valores ímpares de n.

Resposta

A afirmação é falsa.

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