Diga quais das afirmações são falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:
tem uma única raiz real simples.
Passo 1
O enunciado afirma que o polinômio
tem exatamente uma raiz real e que essa raiz é simples. Vamos usar o estudo da derivada (monotonicidade) e o Teorema do Valor Intermediário para concluir isso.
Passo 2
Calculamos a derivada:
Como
para todo
, segue que
em
. Logo,
é estritamente crescente e, portanto, pode ter no máximo uma raiz real.
Passo 3
Para garantir que há pelo menos uma raiz real, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário. Note que
portanto
é raiz. Como
é estritamente crescente, não existe outra raiz real. Assim, há exatamente uma raiz real.
Passo 4
Para checar que essa raiz é simples, avaliamos a derivada em
:
Como a derivada não se anula na raiz, ela é de multiplicidade 1, ou seja, simples.
Resposta
A afirmação é verdadeira.