Seja
com
.
Determine as condições sobre os coeficientes de
para que:
a.
divida
. Qual o quociente?
b.
divida
. Qual o quociente?
c.
divida
, onde
é um número natural. Qual o quociente?
d. 0 seja uma raiz simples de
.
e. 0 seja uma raiz de
com multiplicidade 2 .
f. 0 seja uma raiz de
com multiplicidade
.
a.
b.
c.
d. 0 seja uma raiz simples de
e. 0 seja uma raiz de
f. 0 seja uma raiz de
Passo 1
Temos a função
com
e
. O objetivo é usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes) para determinar quando
divide
e também caracterizar a multiplicidade da raiz zero em termos dos coeficientes
. A cada potência
corresponde a exigir que os primeiros
coeficientes na expansão de
sejam nulos.
Passo 2
Para que
divida
basta que
. Como
a condição é
O quociente é
Passo 3
Para que
divida
precisamos de
e
. Em termos de coeficientes isso equivale a
O quociente é
Passo 4
De modo geral,
divide
se, e somente se,
Nesse caso o quociente é
Passo 5
Para que zero seja raiz simples de
(multiplicidade 1) é preciso que
divida
mas
não. Logo
Passo 6
Para que zero seja raiz de multiplicidade 2 é preciso que
divida
mas
não. Assim
Passo 7
Finalmente, para que zero seja raiz de multiplicidade
é necessário que
divida
mas
não, ou seja
Resposta
(a)
. Quociente:
(b)
. Quociente:
(c)
. Quociente:
(d)
e
.
(e) e
.
(f) e
.
(e)
(f)