Seja f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} com a_{n} \neq 0, n \geq 1.
Determine as condições sobre os coeficientes de f(x) para que:
a. x divida f(x). Qual o quociente?
b. x^{2} divida f(x). Qual o quociente?
c. x^{r} divida f(x), onde r \geq 1 é um número natural. Qual o quociente?
d. 0 seja uma raiz simples de f(x).
e. 0 seja uma raiz de f(x) com multiplicidade 2 .
f. 0 seja uma raiz de f(x) com multiplicidade r.

Passo 1

Temos a função
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
com a_{n}\neq0 e n\ge1. O objetivo é usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes) para determinar quando x^{r} divide f(x) e também caracterizar a multiplicidade da raiz zero em termos dos coeficientes a_{0},a_{1},\dots. A cada potência r corresponde a exigir que os primeiros r coeficientes na expansão de f(x) sejam nulos.

Passo 2

Para que x divida f(x) basta que f(0)=0. Como
f(0)=a_{0},
a condição é
a_{0}=0.
O quociente é
\frac{f(x)}{x} = a_{n}x^{\,n-1}+a_{n-1}x^{\,n-2}+\cdots+a_{2}x+a_{1}.

Passo 3

Para que x^{2} divida f(x) precisamos de f(0)=0 e f'(0)=0. Em termos de coeficientes isso equivale a
a_{0}=0 \quad\text{e}\quad a_{1}=0.
O quociente é
\frac{f(x)}{x^{2}} = a_{n}x^{\,n-2}+a_{n-1}x^{\,n-3}+\cdots+a_{3}x+a_{2}.

Passo 4

De modo geral, x^{r} divide f(x) se, e somente se,
a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{r-1}=0.
Nesse caso o quociente é
\frac{f(x)}{x^{r}} = a_{n}x^{\,n-r}+a_{n-1}x^{\,n-r-1}+\cdots+a_{r}.

Passo 5

Para que zero seja raiz simples de f(x) (multiplicidade 1) é preciso que x divida f mas x^{2} não. Logo
a_{0}=0 \quad\text{e}\quad a_{1}\neq0.

Passo 6

Para que zero seja raiz de multiplicidade 2 é preciso que x^{2} divida f mas x^{3} não. Assim
a_{0}=0,\quad a_{1}=0 \quad\text{e}\quad a_{2}\neq0.

Passo 7

Finalmente, para que zero seja raiz de multiplicidade r é necessário que x^{r} divida f mas x^{r+1} não, ou seja
a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{r-1}=0 \quad\text{e}\quad a_{r}\neq0.

Resposta

(a) a_{0}=0. Quociente:
a_{n}x^{\,n-1}+a_{n-1}x^{\,n-2}+\cdots+a_{1}.
(b) a_{0}=0,\;a_{1}=0. Quociente:
a_{n}x^{\,n-2}+a_{n-1}x^{\,n-3}+\cdots+a_{2}.
(c) a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{r-1}=0. Quociente:
a_{n}x^{\,n-r}+a_{n-1}x^{\,n-r-1}+\cdots+a_{r}.
(d) a_{0}=0 e a_{1}\neq0.
(e) a_{0}=0,\;a_{1}=0 e a_{2}\neq0.
(f) a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{r-1}=0 e a_{r}\neq0.

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