4- Diga se as afirmaçồes slo verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique sua resposta.
a) Uma força conservativa \vec{F} realiza um trabalho w para mover uma partícula entre os pontos A e B através de um caminho de comprimento L . Para mover a mesma partícula entre os mesmos pontos A e B , mas agora usando um caminho de comprimento 2 L , o trabalho será 2 w .
b) A integral de linha de uma força conservativa \vec{F} ao longo de uma circunferência é proporcional ao raio dessa circunferência.
PS: Respostas sem justificativa ndo serilo aceitas. \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique. As duas afirmações são:
a) Uma força conservativa \vec{F} realiza um trabalho w para mover uma partícula entre os pontos A e B através de um caminho de comprimento L. Para mover a mesma partícula entre os mesmos pontos A e B, mas agora usando um caminho de comprimento 2L, o trabalho será 2w.
b) A integral de linha de uma força conservativa \vec{F} ao longo de uma circunferência é proporcional ao raio dessa circunferência.
Informações dadas e condições relevantes explicitamente fornecidas pelo enunciado:
  • \vec{F} é uma força conservativa.
  • Em (a) sabemos que existe um caminho entre A e B de comprimento L que produz trabalho w; existe outro caminho entre os mesmos A e B de comprimento 2L.
  • Em (b) a integral de linha é tomada “ao longo de uma circunferência” (isto é, um caminho fechado).
  • Preciso justificar cada resposta, sem pular etapas.

Passo 2

Primeiro, lembrar o conceito de trabalho e integral de linha de forma bem direta e intuitiva: o trabalho realizado por uma força ao deslocar uma partícula ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha
W_C=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \vec{F} é a força em cada ponto do caminho, d\vec{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo de C, e o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} representa a contribuição infinitesimal de trabalho. Essa é a definição operacional de trabalho que vamos usar.

Passo 3

Agora a definição especial de “força conservativa”: dizer que \vec{F} é conservativa significa que existe uma função escalar (potencial) \varphi(\vec{r}) tal que, em convenção matemática,
\vec{F}=\nabla\varphi.
(Em física muitas vezes se usa \vec{F}=-\nabla U, com U potencial de energia; a ideia é a mesma: existe um potencial escalar cujo gradiente gera \vec{F}.) A propriedade fundamental que usamos é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (ou Teorema de Gradiente): para qualquer curva C que liga A a B,
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Isso significa que o trabalho depende somente dos pontos finais A e B, e não do caminho seguido entre eles. Em palavras: para forças conservativas, o trabalho é independente do caminho.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao item (a): se \vec{F} é conservativa, o trabalho entre A e B é sempre
W=\varphi(B)-\varphi(A),
independente do caminho ou do comprimento do caminho. Portanto, se para um caminho de comprimento L o trabalho é w, então para qualquer outro caminho que vá de A a B (seja ele de comprimento 2L, 10L ou qualquer outro) o trabalho continuará sendo w. Logo a afirmação "usar um caminho com comprimento 2L faz o trabalho ser 2w" é falsa. A quantidade física comprimento do caminho não entra na fórmula do trabalho quando a força é conservativa — só importam os pontos iniciais e finais.
Para fixar a ideia com um exemplo concreto e intuitivo (mini-exemplo): considere a força constante \vec{F}=F_0\hat{\imath}. Ela é conservativa (potencial \varphi(x,y)=F_0 x). Tome A=(0,0) e B=(1,0). Pelo teorema do gradiente,
W=\varphi(B)-\varphi(A)=F_0\cdot 1 - 0 = F_0.
Se eu levar a partícula por um caminho direto de comprimento 1, ou por um caminho mais tortuoso de comprimento 2, o trabalho continua sendo F_0. Então não há multiplicação por 2.

Passo 5

Agora o item (b). A expressão “ao longo de uma circunferência” significa um caminho fechado (o ponto inicial coincide com o final). Para uma força conservativa, usando a mesma propriedade de potencial, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada C é
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial})=0,
porque para um caminho fechado o ponto final é o mesmo que o inicial. Assim o valor da integral ao longo de uma circunferência é zero — não depende do raio, nem é proporcional ao raio. A única forma em que ela seria “proporcional ao raio” seria se sempre desse zero e alguém interpretasse isso como 0\cdot r, mas isso é uma afirmação enganosa: dizer “proporcional ao raio” normalmente implica variação com r, e aqui não existe variação. Portanto a afirmação é falsa.
Um lembrete para evitar confusão: se a força não fosse conservativa (por exemplo um campo com circulação não nula numa região com um “buraco” onde o potencial não é bem definido), aí sim a integral sobre uma circunferência poderia depender do raio. Mas o enunciado já afirmou que \vec{F} é conservativa, então esse caso não interessa aqui.

Passo 6

Resumo lógico das justificativas (para você levar pra prova):
  • Para forças conservativas, trabalho entre dois pontos depende só dos pontos finais: \int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A). Portanto comprimento do caminho não importa → (a) é falsa.
  • Para qualquer curva fechada C em campo conservativo, \oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=0. Uma circunferência é uma curva fechada → integral não depende do raio e vale 0 → (b) é falsa.

Resposta

a) F\nb) F

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