4- Diga se as afirmaçồes slo verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique sua resposta.
a) Uma força conservativa
realiza um trabalho w para mover uma partícula entre os pontos A e B através de um caminho de comprimento L . Para mover a mesma partícula entre os mesmos pontos A e B , mas agora usando um caminho de comprimento 2 L , o trabalho será 2 w .
b) A integral de linha de uma força conservativa
ao longo de uma circunferência é proporcional ao raio dessa circunferência.
PS: Respostas sem justificativa ndo serilo aceitas.
a) Uma força conservativa
b) A integral de linha de uma força conservativa
PS: Respostas sem justificativa ndo serilo aceitas.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique. As duas afirmações são:
a) Uma força conservativa
realiza um trabalho
para mover uma partícula entre os pontos
e
através de um caminho de comprimento
. Para mover a mesma partícula entre os mesmos pontos
e
, mas agora usando um caminho de comprimento
, o trabalho será
.
b) A integral de linha de uma força conservativa
ao longo de uma circunferência é proporcional ao raio dessa circunferência.
Informações dadas e condições relevantes explicitamente fornecidas pelo enunciado:
-
é uma força conservativa. - Em (a) sabemos que existe um caminho entre
e de comprimento que produz trabalho ; existe outro caminho entre os mesmos e de comprimento . - Em (b) a integral de linha é tomada “ao longo de uma circunferência” (isto é, um caminho fechado).
- Preciso justificar cada resposta, sem pular etapas.
Passo 2
Primeiro, lembrar o conceito de trabalho e integral de linha de forma bem direta e intuitiva: o trabalho realizado por uma força ao deslocar uma partícula ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha
Aqui
é a força em cada ponto do caminho,
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo de
, e o produto escalar
representa a contribuição infinitesimal de trabalho. Essa é a definição operacional de trabalho que vamos usar.
Passo 3
Agora a definição especial de “força conservativa”: dizer que
é conservativa significa que existe uma função escalar (potencial)
tal que, em convenção matemática,
(Em física muitas vezes se usa
, com
potencial de energia; a ideia é a mesma: existe um potencial escalar cujo gradiente gera
.) A propriedade fundamental que usamos é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (ou Teorema de Gradiente): para qualquer curva
que liga
a
,
Isso significa que o trabalho depende somente dos pontos finais
e
, e não do caminho seguido entre eles. Em palavras: para forças conservativas, o trabalho é independente do caminho.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao item (a): se
é conservativa, o trabalho entre
e
é sempre
independente do caminho ou do comprimento do caminho. Portanto, se para um caminho de comprimento
o trabalho é
, então para qualquer outro caminho que vá de
a
(seja ele de comprimento
,
ou qualquer outro) o trabalho continuará sendo
. Logo a afirmação "usar um caminho com comprimento
faz o trabalho ser
" é falsa. A quantidade física comprimento do caminho não entra na fórmula do trabalho quando a força é conservativa — só importam os pontos iniciais e finais.
Para fixar a ideia com um exemplo concreto e intuitivo (mini-exemplo): considere a força constante
. Ela é conservativa (potencial
). Tome
e
. Pelo teorema do gradiente,
Se eu levar a partícula por um caminho direto de comprimento
, ou por um caminho mais tortuoso de comprimento
, o trabalho continua sendo
. Então não há multiplicação por 2.
Passo 5
Agora o item (b). A expressão “ao longo de uma circunferência” significa um caminho fechado (o ponto inicial coincide com o final). Para uma força conservativa, usando a mesma propriedade de potencial, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada
é
porque para um caminho fechado o ponto final é o mesmo que o inicial. Assim o valor da integral ao longo de uma circunferência é zero — não depende do raio, nem é proporcional ao raio. A única forma em que ela seria “proporcional ao raio” seria se sempre desse zero e alguém interpretasse isso como
, mas isso é uma afirmação enganosa: dizer “proporcional ao raio” normalmente implica variação com
, e aqui não existe variação. Portanto a afirmação é falsa.
Um lembrete para evitar confusão: se a força não fosse conservativa (por exemplo um campo com circulação não nula numa região com um “buraco” onde o potencial não é bem definido), aí sim a integral sobre uma circunferência poderia depender do raio. Mas o enunciado já afirmou que
é conservativa, então esse caso não interessa aqui.
Passo 6
Resumo lógico das justificativas (para você levar pra prova):
- Para forças conservativas, trabalho entre dois pontos depende só dos pontos finais:
. Portanto comprimento do caminho não importa → (a) é falsa. - Para qualquer curva fechada
em campo conservativo, . Uma circunferência é uma curva fechada → integral não depende do raio e vale → (b) é falsa.
Resposta
a) F\nb) F