Diga se cada um dos conjuntos abaixo é finito ou infinito:
(e) O conjunto de raízes da equação
x^{38}+42 x^{23}-17 x^{18}-2 x^{5}+19=0

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de raízes da equação
x^{38}+42x^{23}-17x^{18}-2x^{5}+19=0
e pede para dizer se esse conjunto é finito ou infinito. O conteúdo envolvido é a teoria de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra.

Passo 2

O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que um polinômio não nulo de grau n tem exatamente n raízes no campo dos complexos (contando multiplicidades), o que garante que o número de raízes é finito.

Passo 3

No nosso caso, o polinômio
p(x)=x^{38}+42x^{23}-17x^{18}-2x^{5}+19
é de grau \deg p=38, logo possui no máximo 38 raízes. Portanto, o conjunto de soluções é finito.

Resposta

O conjunto é finito.

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