Find the limits in Exercises 1-12.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, \ln 2)} e^{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite de função de duas variáveis:
\lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} e^{\,x - y}.
Aqui o conteúdo principal é a continuidade da função exponencial e a propriedade de que se f é contínua, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b).

Passo 2

Observamos que a função
f(x,y) = e^{\,x - y}
é composição de operações contínuas (subtração e exponencial), logo é contínua em todo \mathbb{R}^2. Por consequência, podemos simplesmente substituir (x,y)=(0,\ln 2) na expressão.

Passo 3

Fazendo a substituição, o expoente fica
0 - \ln 2 = -\ln 2
e, portanto,
e^{\,0 - \ln 2} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}

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