Find the limits in Exercises 1-12.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, \pi / 4)} \operatorname{sec} x \tan y

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)}\operatorname{sec} x\tan y.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e uso da continuidade de cada fator para separar o limite do produto.

Passo 2

Como \operatorname{sec} x e \tan y são funções contínuas nas vizinhanças de x=0 e de y=\pi/4, vale a propriedade
\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)}\operatorname{sec} x\tan y =\Bigl(\lim_{x\to0}\operatorname{sec} x\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{y\to\pi/4}\tan y\Bigr).

Passo 3

Calculemos cada limite separadamente. Primeiro,
\lim_{x\to0}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec}(0) = 1,
pois \operatorname{sec} x = 1/\cos x e \cos(0)=1.

Passo 4

Em seguida,
\lim_{y\to\pi/4}\tan y = \tan\bigl(\pi/4\bigr) = 1.

Resposta

1 \times 1 = 1.

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