Diga se cada sinal abaixo ( t em segundos, n em amostras, j=raiz-1 ) é periódico. Se não for, justifique. Se for, dê seu período fundamental T0 ou N0.
x[n]=cos (pi n) u[n]

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. O sinal é
x[n] = cos(pi n),u[n]
Estamos em Sinais e Sistemas, parte de sinais discretos. A missão é decidir se esse sinal é periódico em x[n + N0] = x[n]para todo inteiro n . Se for, achar o período fundamental ; se não for, explicar o porquê. Para isso, precisamos da definição de periodicidade discreta: existe um inteiro positivo tal que

Passo 2

Primeiro, observa só a parte omega02pi = pi2pi = 12, , sem o pi N0 = 2pi k ;;Longrightarrow;; N0 = 2k . Em sinais discretos, cos(pi (n+2)) = cos(pi n + 2pi) = cos(pi n), é periódico se for racional. Aqui , então
que é racional. O período fundamental de é o menor inteiro positivo tal que , ou seja
O menor inteiro positivo é , logo . Assim
confirmando que sozinho tem período .

Passo 3

Agora vamos reincorporar o passo unitário u[n] = 1, & n >= 0, 0, & n < 0 . Lembra que
x[n+2] = x[n]forall n
Para o sinal total ser periódico, teria de valer
Escolhe um qualquer, por exemplo .
Claramente , então já quebra a condição de periodicidade para todo .

Resposta

O sinal não é periódico, porque a janela anula os valores para e impede que exista um único que faça para todo inteiro .

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