Um sistema contínuo no tempo é regido pela seguinte expressão
y(t)=12 integral-infty^infty x(tau)(de
O sistema é invariante no tempo? Justifique.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema contínuo no tempo descrito por
y(t)=12integral-infty^inftyx(tau)l(de
O conteúdo da matéria é “invariância no tempo” de sistemas. Para resolver, a gente precisa:
  1. Saber o que significa sistema invariante no tempo;
  2. Usar a propriedade do impulso (efeito “sifting”);
  3. Comparar o deslocamento na entrada com o deslocamento na saída.

Passo 2

Definição de invariança no tempo (IT): se a gente aplica um atraso na entrada, , então a saída correspondente deve ser simplesmente . Se isso não acontecer para todo e todo , o sistema não é IT.

Passo 3

Vamos calcular a saída y1(t) =12integral-infty^infty x1(tau)l(de para a entrada atrasada y1(t)=12l[x(t-t0)-x(-t-t0)r] . Substituindo no integral:
Agora aplicamos a propriedade :
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo: . Para esse, note que a sifting dá , então sai .
    Logo

Passo 4

Agora calculamos y(t-t0) =12integral-infty^infty x(tau)l(de, ou seja, pegamos a expressão original e trocamos y(t-t0)=12l[x(t-t0)-x(-t+t0)r] por :
Pela mesma mecânica:
  • Primeiro termo vira .
  • Segundo termo: “puxa” , dando .
    Então

Passo 5

Compare as duas saídas:
y1(t)=tfrac12l[x(t-t0)-x(-t-t0)r], y(t-t0)=tfrac12l[x(t-t0)-x(-t+t0)r]
Repara que o segundo termo em y1(t)neq y(t-t0) é e em é . Geralmente , então

Resposta

O sistema não é invariante no tempo, pois um atraso na entrada não se reflete no mesmo atraso na saída.

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