Um sistema contínuo no tempo é regido pela seguinte expressão
O sistema é invariante no tempo? Justifique.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema contínuo no tempo descrito por
O conteúdo da matéria é “invariância no tempo” de sistemas. Para resolver, a gente precisa:
- Saber o que significa sistema invariante no tempo;
- Usar a propriedade do impulso
(efeito “sifting”); - Comparar o deslocamento na entrada com o deslocamento na saída.
Passo 2
Definição de invariança no tempo (IT): se a gente aplica um atraso
na entrada,
, então a saída correspondente deve ser simplesmente
. Se isso não acontecer para todo
e todo
, o sistema não é IT.
Passo 3
Vamos calcular a saída
para a entrada atrasada
. Substituindo no integral:
Agora aplicamos a propriedade
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
. Para esse, note que a sifting dá , então sai .
Logo
Passo 4
Agora calculamos
, ou seja, pegamos a expressão original e trocamos
por
:
Pela mesma mecânica:
- Primeiro termo vira
. - Segundo termo:
“puxa” , dando .
Então
Passo 5
Compare as duas saídas:
Repara que o segundo termo em
é
e em
é
. Geralmente
, então
Resposta
O sistema não é invariante no tempo, pois um atraso na entrada não se reflete no mesmo atraso na saída.