Um sistema contínuo no tempo é regido pela seguinte expressão
y(t)=12 integral-infty^infty x(tau)(de
O sistema é linear? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem um sistema contínuo dado por
y(t)=12integral-infty^infty x(tau)l(de
O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares: entender como a função delta “puxa” valores de e depois testar se o sistema satisfaz superposição e homogeneidade (definição de linearidade). Para isso, precisamos usar a propriedade de “sifting” (ou amostragem) do delta e depois aplicar o teste de linearidade.

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica do delta:
integral-infty^infty x(tau),de
Aplicando isso dentro da integral, a gente tem
y(t) = 12l[underbraceintegral x(tau),de
Ou seja, o sistema simplesmente pega a parte “ímpar” do sinal .

Passo 3

Agora, o que significa ser linear? Um sistema Sa,x1 + b,x2 ;=; a,Sx1 ;+; b,Sx2 é linear se, tomados dois sinais de entrada e e escalares e , valer
No nosso caso .

Passo 4

Vamos aplicar o teste: seja a entrada combinada Sx(t) = 12l[(a,x1+b,x2)(t) - (a,x1+b,x2)(-t)r] . Então
= 12l[a,x1(t)+b,x2(t) - a,x1(-t)-b,x2(-t)r] = a,x1(t)-x1(-t)2 ;+; b,x2(t)-x2(-t)2
Distributiva:
Sa,x1+b,x2(t) = a,Sx1(t) + b,Sx2(t),
Mas cada fração é justamente . Logo
que é exatamente o que a gente precisa para afirmar linearidade.

Resposta

Sim, o sistema é linear, pois satisfaz superposição e homogeneidade:
Sa,x1+b,x2(t) = a,Sx1(t) + b,Sx2(t)

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