Passo 1
O enunciado pede para simplificar uma expressão algébrica que envolve raízes (quadradas e cúbicas), potências e operações com frações. O conteúdo principal aqui é simplificação de expressões com radicais e uso de propriedades de potências e frações. Vamos precisar usar: conversão de decimais em frações, avaliação de raízes exatas, soma de frações e fatoração de diferença de quadrados.
Passo 2
Primeiro, olhamos o colchete no numerador: $\frac{6}{9}\cdot(10+\sqrt[3]{125})\cdot0,5\$. Sabendo que $\sqrt[3]{125}=5\$ e que \0,5=\frac12\, temos: \frac{6}{9}=\frac23\, então \frac23\times15\times\frac12=10\times\frac12=5\. Logo a parte dentro do colchete vira 5, e tirando raiz quadrada fica \sqrt{5}\.
Passo 3
Agora analisamos o divisor interno do numerador: \left(\frac12+\frac53+\frac56+5\right)^{\frac12}+\sqrt{2+3}\. Somando as frações sobre denominador comum 6: $\frac12=\frac36,;\frac53=\frac{10}6,;\frac56,;5=\frac{30}6$, soma =\frac{3+10+5+30}6=8\. Então \(8)^{\frac12}=\sqrt8=2\sqrt2\ e \sqrt{2+3}=\sqrt5\. Assim o divisor interno é \2\sqrt2+\sqrt5\. Portanto o numerador completo fica \frac{\sqrt5}{2\sqrt2+\sqrt5}\.
Passo 4
No denominador da expressão original, temos \frac{\sqrt{24-23}}{8\div2^3}-\sqrt2\cdot\sqrt{2,5}\. Calculando cada parte: \24-23=16-8=8\, logo \\sqrt8=2\sqrt2\; e \8\div2^3=8\div8=1\, então a fração é \frac{2\sqrt2}{1}=2\sqrt2\. Para a segunda parte, \2,5=\frac52\, então \\sqrt{2,5}=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}\ e \sqrt2\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt2}=\sqrt5\. Assim o denominador é \2\sqrt2-\sqrt5\.
Passo 5
Agora juntamos tudo: a expressão vira \frac{\sqrt5}{2\sqrt2+\sqrt5}\ ÷ \bigl(2\sqrt2-\sqrt5\bigr)\. Dividir por $2\sqrt2-\sqrt5$ é multiplicar pelo inverso, então obtemos \frac{\sqrt5}{(2\sqrt2+\sqrt5)(2\sqrt2-\sqrt5)}\. Reconhecendo diferença de quadrados, \(2\sqrt2)2-(\sqrt5)2=8-5=3\, o produto do denominador é 3.
Passo 6
Portanto a expressão simplifica para \frac{\sqrt5}{3}\.