Ache a equação da reta tangente a curva y=3 x^2-4 que é normal a reta x+3 y=4, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = 3x^{2} - 4 $ que é normal à reta $ x + 3y = 4 $. Vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a uma curva. A reta tangente toca a curva em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para achar essa reta, precisamos da derivada da função $ y = 3x^{2} - 4 $, que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y = 3x^{2} - 4 $:
y = 3x^2 - 4
Essa é a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $.

Passo 4

Agora, precisamos achar a inclinação da reta que é normal à reta $ x + 3y = 4 $. Primeiro, vamos encontrar a inclinação dessa reta. Vamos reescrever na forma $ y = mx + b $:
x + 3y = 4
Então, a inclinação $ m $ dessa reta é $ -\frac{1}{3} $.

Passo 5

Uma reta normal a outra tem inclinação que é o negativo do inverso. Então, a inclinação da reta normal será:
mnormal = -1m = -1-13 = 3

Passo 6

Sabemos que a inclinação da reta tangente à curva deve ser igual à inclinação da reta normal, ou seja, 3. Então, igualamos a derivada à inclinação desejada:
6x = 3 Rightarrow x = 36 = 12

Passo 7

Com $ x = \frac{1}{2} $, vamos encontrar o valor de $ y $ na curva:
x = 12
Então, o ponto de tangência é $ \left( \frac{1}{2}, -\frac{13}{4} \right) $.

Passo 8

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde $ m = 3 $ e $ (x_{1}, y_{1}) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{13}{4} \right) $:
m = 3
Simplificando:
(x1, y1) = ( 12, -134 )
y - (-134) = 3(x - 12)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 3x - \frac{19}{4} $.

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