Ache a equação da reta tangente a curva
que é normal a reta
, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = 3x^{2} - 4 $ que é normal à reta $ x + 3y = 4 $. Vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a uma curva. A reta tangente toca a curva em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para achar essa reta, precisamos da derivada da função $ y = 3x^{2} - 4 $, que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y = 3x^{2} - 4 $:
Essa é a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $.
Passo 4
Agora, precisamos achar a inclinação da reta que é normal à reta $ x + 3y = 4 $. Primeiro, vamos encontrar a inclinação dessa reta. Vamos reescrever na forma $ y = mx + b $:
Então, a inclinação $ m $ dessa reta é $ -\frac{1}{3} $.
Passo 5
Uma reta normal a outra tem inclinação que é o negativo do inverso. Então, a inclinação da reta normal será:
Passo 6
Sabemos que a inclinação da reta tangente à curva deve ser igual à inclinação da reta normal, ou seja, 3. Então, igualamos a derivada à inclinação desejada:
Passo 7
Com $ x = \frac{1}{2} $, vamos encontrar o valor de $ y $ na curva:
Então, o ponto de tangência é $ \left( \frac{1}{2}, -\frac{13}{4} \right) $.
Passo 8
Agora, vamos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Onde $ m = 3 $ e $ (x_{1}, y_{1}) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{13}{4} \right) $:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 3x - \frac{19}{4} $.