Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Divergente, decrescente e limitada.
Divergente, decrescente e limitada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado:
- Pede-se saber se é possível existir uma sequência que seja simultaneamente:
- divergente;
- decrescente;
- limitada.
- Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for possível, justificar por que não.
Passo 2
Definições e esclarecimentos (vou usar uma linguagem tranquila pra você entender direitinho).
- Uma sequência
é dita divergente quando ela não converge para nenhum número real finito. Ou seja, não existe tal que . - A sequência é decrescente quando, para todo
, (Isto é o sentido usual de “decrescente” = não crescente.) - A sequência é limitada quando existe
tal que, para todo , Em particular, uma sequência limitada tem uma cota inferior (existe com para todo ) e uma cota superior (existe com para todo ).
Passo 3
Observação-chave (intuição antes da prova): uma sequência que é monotona (decrescente ou crescente) e tem uma das cotas necessárias geralmente acaba “esticando” até um número limite: quando ela é decrescente e existe uma cota inferior, os termos não conseguem oscilar nem escapar para longe — eles se aproximam do ínfimo das suas valores. Isso sugere que uma sequência decrescente e limitada deveria convergir.
Passo 4
Teorema usado (forma simples e útil): se
é decrescente (isto é,
para todo
) e é limitada inferiormente (existe
tal que
para todo
), então
converge para
.
Vou provar isso passo a passo (é o argumento clássico por
).
- Como
é limitada, em particular existe uma cota inferior. Logo o conjunto tem um ínfimo (pela completude dos reais). - Queremos mostrar que
. Tome um qualquer. - Pela definição de ínfimo,
é o maior número que é menor ou igual a todos os . Então para todo . Além disso, por ser ínfimo, não existe um número maior que que também seja uma cota inferior; em particular, não é uma cota inferior. Isso implica que existe algum índice tal que (Se todos os fossem , então seria uma cota inferior maior que , contradizendo que é ínfimo.) - Como a sequência é decrescente, para todo
valem . Juntando com a desigualdade anterior e com obtemos, para , Portanto para todo . - Como isso vale para todo
, segue que quando . Ou seja, a sequência converge.
Passo 5
Conclusão lógica e resposta ao enunciado:
- Se uma sequência é decrescente e limitada, então ela tem cota inferior e, pelo passo anterior, converge a um número real (seu ínfimo). Logo ela não pode ser divergente.
- Portanto é impossível existir uma sequência simultaneamente divergente, decrescente e limitada.
Observação final e resposta intuitiva: a palavra-chave é “monotonia + limite de amplitude” — monotonia impede oscilações; a limitação impede ir para
. O resultado é convergência. Então tentar construir uma sequência que seja ao mesmo tempo decrescente, limitada e divergente é uma contradição.
Resposta
Não é possível.