Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Divergente, decrescente e limitada.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que está dado:
  • Pede-se saber se é possível existir uma sequência que seja simultaneamente:
    • divergente;
    • decrescente;
    • limitada.
  • Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for possível, justificar por que não.

Passo 2

Definições e esclarecimentos (vou usar uma linguagem tranquila pra você entender direitinho).
  • Uma sequência \{a_n\}_{n=1}^{\infty} é dita divergente quando ela não converge para nenhum número real finito. Ou seja, não existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty} a_n = L.
  • A sequência é decrescente quando, para todo n\ge 1, a_{n+1} \le a_n.(Isto é o sentido usual de “decrescente” = não crescente.)
  • A sequência é limitada quando existe M>0 tal que, para todo n, |a_n| \le M.Em particular, uma sequência limitada tem uma cota inferior (existe m com a_n \ge m para todo n) e uma cota superior (existe M com a_n \le M para todo n).

Passo 3

Observação-chave (intuição antes da prova): uma sequência que é monotona (decrescente ou crescente) e tem uma das cotas necessárias geralmente acaba “esticando” até um número limite: quando ela é decrescente e existe uma cota inferior, os termos não conseguem oscilar nem escapar para longe — eles se aproximam do ínfimo das suas valores. Isso sugere que uma sequência decrescente e limitada deveria convergir.

Passo 4

Teorema usado (forma simples e útil): se \{a_n\} é decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_n para todo n) e é limitada inferiormente (existe m tal que a_n\ge m para todo n), então \{a_n\} converge para L=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}.
Vou provar isso passo a passo (é o argumento clássico por \varepsilon).
  • Como \{a_n\} é limitada, em particular existe uma cota inferior. Logo o conjunto S=\{a_n:n\in\mathbb{N}\} tem um ínfimo L=\inf S (pela completude dos reais).
  • Queremos mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n = L. Tome um \varepsilon>0 qualquer.
  • Pela definição de ínfimo, L é o maior número que é menor ou igual a todos os a_n. Então L\le a_n para todo n. Além disso, por ser ínfimo, não existe um número maior que L que também seja uma cota inferior; em particular, L+\varepsilon não é uma cota inferior. Isso implica que existe algum índice N tal que a_N < L + \varepsilon.(Se todos os a_n fossem \ge L+\varepsilon, então L+\varepsilon seria uma cota inferior maior que L, contradizendo que L é ínfimo.)
  • Como a sequência é decrescente, para todo n\ge N valem a_n \le a_N. Juntando com a desigualdade anterior e com L\le a_n obtemos, para n\ge N, L \le a_n \le a_N < L + \varepsilon.Portanto |a_n - L| < \varepsilon para todo n\ge N.
  • Como isso vale para todo \varepsilon>0, segue que a_n\to L quando n\to\infty. Ou seja, a sequência converge.

Passo 5

Conclusão lógica e resposta ao enunciado:
  • Se uma sequência é decrescente e limitada, então ela tem cota inferior e, pelo passo anterior, converge a um número real (seu ínfimo). Logo ela não pode ser divergente.
  • Portanto é impossível existir uma sequência simultaneamente divergente, decrescente e limitada.
Observação final e resposta intuitiva: a palavra-chave é “monotonia + limite de amplitude” — monotonia impede oscilações; a limitação impede ir para \pm\infty. O resultado é convergência. Então tentar construir uma sequência que seja ao mesmo tempo decrescente, limitada e divergente é uma contradição.

Resposta

Não é possível.

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