Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Não crescente e não decrescente.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se é possível apresentar sequências que sejam ao mesmo tempo “não crescente” e “não decrescente”. Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
Informações dadas (explicitadas):
  • Quero sequências (a_n)_{n\ge1} que sejam “não crescente” e “não decrescente” — ou seja, devemos analisar essas propriedades e depois dar exemplos (ou justificar impossibilidade).

Passo 2

Definições claras e simples (aquelas que preciso conhecer para a prova).
  • Uma sequência (a_n) é chamada de não crescente (ou não-increasing) se, para todo n\ge1,
a_{n+1} \le a_n.
Isto significa: cada termo é menor ou igual ao anterior — a sequência pode ficar igual por trechos ou cair, mas nunca subir.
  • Uma sequência (a_n) é chamada de não decrescente (ou não-decreasing) se, para todo n\ge1,
a_{n+1} \ge a_n.
Isto significa: cada termo é maior ou igual ao anterior — pode ficar igual ou subir, mas nunca cair.
Observação útil (muito usada em provas): se uma sequência é ao mesmo tempo não crescente e não decrescente, então para todo n vale
a_{n+1} \le a_n \quad\text{e}\quad a_{n+1} \ge a_n,
logo a_{n+1}=a_n para todo n. Portanto, ser simultaneamente não crescente e não decrescente equivale a ser constante. Vou usar essa ideia para interpretar o que o enunciado realmente pede.

Passo 3

O que significa “não crescente e não decrescente” no enunciado? Há duas interpretações possíveis que a prova pode querer:
  • Interpretação A (mais literal): encontrar sequências que sejam ao mesmo tempo não crescente e não decrescente (i.e., simultaneamente as duas propriedades). Pela observação do Passo 2, isso só é possível para sequências constantes. Nesse caso as únicas sequências possíveis são as constantes — posso dar dois exemplos constantes fáceis.
  • Interpretação B (provavelmente a que o enunciado quer): encontrar sequências que NÃO sejam nem não crescente nem não decrescente — isto é, sequências que são “não crescente e não decrescente” no sentido de “não (crescente) e não (decrescente)”? Para evitar ambiguidade, normalmente em matemática quando se pede “Não crescente e não decrescente” costuma-se entender: apresentar sequências que não são não-crescentes e também não são não-decrescentes, ou seja, sequências que não são monotônicas em nenhum sentido (nem não-crescente nem não-decrescente).
    Para a prova, vou assumir a leitura que mais exige exemplos interessantes: apresentar sequências que NÃO são nem não-crescente nem não-decrescente (isto é, sequências que têm ao menos uma subida e ao menos uma descida). Essa é a interpretação que permite dar exemplos não-triviais. Se o professor quisesse a Interpretação A, a resposta seria simplesmente “sim — qualquer sequência constante” e eu poderia dar exemplos constantes; como a intenção da questão costuma ser dar exemplos de sequências que não são monotônicas, vou construir sequências que apresentam tanto aumentos quanto diminuições.
Critério prático para mostrar que uma sequência não é não-crescente e também não é não-decrescente:
  • Para mostrar que (a_n) NÃO é não-crescente, basta encontrar algum n tal que
a_{n+1} > a_n
(uma subida).
  • Para mostrar que (a_n) NÃO é não-decrescente, basta encontrar algum m tal que
a_{m+1} < a_m
(uma descida).
Portanto, para provar que uma sequência é “nem não-crescente nem não-decrescente” basta demonstrar a existência de um aumento e de uma diminuição em índices possivelmente diferentes.

Passo 4

Exemplo 1 (muito simples e padrão): a sequência
a_n = (-1)^n.
Primeiros termos: a_1 = (-1)^1 = -1, a_2 = 1, a_3 = -1, a_4 = 1, … ou seja a sequência é -1,1,-1,1,\dots.
Verificações (mostrando subida e descida):
  • Subida: observe que a_2 = 1 > -1 = a_1. Logo existe n=1 com a_{n+1} > a_n, então a sequência NÃO é não-crescente.
  • Descida: observe que a_3 = -1 < 1 = a_2. Logo existe m=2 com a_{m+1} < a_m, então a sequência NÃO é não-decrescente.
Conclusão para o exemplo 1: (a_n) não é não-crescente nem não-decrescente — é exatamente um exemplo de sequência que oscila entre subida e descida.

Passo 5

Exemplo 2 (outro exemplo simples, com valores 1 e 0): a sequência definida por
b_n = \begin{cases} 1 & \text{se } n \text{ é ímpar},\\[4pt] 0 & \text{se } n \text{ é par}. \end{cases}éíé
Primeiros termos: b_1=1, b_2=0, b_3=1, b_4=0, … ou seja 1,0,1,0,\dots.
Verificações:
  • Descida: b_2 = 0 < 1 = b_1, então existe n=1 com b_{n+1} < b_n; assim (b_n) NÃO é não-decrescente.
  • Subida: b_3 = 1 > 0 = b_2, então existe m=2 com b_{m+1} > b_m; assim (b_n) NÃO é não-crescente.
Conclusão para o exemplo 2: (b_n) também não é não-crescente nem não-decrescente.]

Passo 6

Dica prática e conclusão didática (para a prova):
  • Método rápido para construir exemplos que não são monotônicos: intercale dois valores diferentes (por exemplo, 0 e 1 ou -1 e 1). Isso garante uma descida seguida de uma subida, logo falham as duas propriedades monotônicas.
  • Lembrete útil: se, pelo contrário, a sequência fosse ao mesmo tempo não-crescente e não-decrescente, então ela seria constante (caso trivial). Por isso, quando a questão pede exemplos “não monotônicos”, o que se quer normalmente é encontrar flutuações (subidas e descidas) — como nos exemplos acima.

Resposta

a_n = (-1)^n\) \(b_n = \begin{cases}1 & \text{se } n \text{ é ímpar},\\[4pt] 0 & \text{se } n \text{ é par}.\end{cases}]

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