Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Não crescente e não decrescente.
Não crescente e não decrescente.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se é possível apresentar sequências que sejam ao mesmo tempo “não crescente” e “não decrescente”. Se for possível, apresentar dois exemplos; se não for, justificar por que não.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Quero sequências
que sejam “não crescente” e “não decrescente” — ou seja, devemos analisar essas propriedades e depois dar exemplos (ou justificar impossibilidade).
Passo 2
Definições claras e simples (aquelas que preciso conhecer para a prova).
- Uma sequência
é chamada de não crescente (ou não-increasing) se, para todo ,
Isto significa: cada termo é menor ou igual ao anterior — a sequência pode ficar igual por trechos ou cair, mas nunca subir.
- Uma sequência
é chamada de não decrescente (ou não-decreasing) se, para todo ,
Isto significa: cada termo é maior ou igual ao anterior — pode ficar igual ou subir, mas nunca cair.
Observação útil (muito usada em provas): se uma sequência é ao mesmo tempo não crescente e não decrescente, então para todo
vale
logo
para todo
. Portanto, ser simultaneamente não crescente e não decrescente equivale a ser constante. Vou usar essa ideia para interpretar o que o enunciado realmente pede.
Passo 3
O que significa “não crescente e não decrescente” no enunciado? Há duas interpretações possíveis que a prova pode querer:
- Interpretação A (mais literal): encontrar sequências que sejam ao mesmo tempo não crescente e não decrescente (i.e., simultaneamente as duas propriedades). Pela observação do Passo 2, isso só é possível para sequências constantes. Nesse caso as únicas sequências possíveis são as constantes — posso dar dois exemplos constantes fáceis.
- Interpretação B (provavelmente a que o enunciado quer): encontrar sequências que NÃO sejam nem não crescente nem não decrescente — isto é, sequências que são “não crescente e não decrescente” no sentido de “não (crescente) e não (decrescente)”? Para evitar ambiguidade, normalmente em matemática quando se pede “Não crescente e não decrescente” costuma-se entender: apresentar sequências que não são não-crescentes e também não são não-decrescentes, ou seja, sequências que não são monotônicas em nenhum sentido (nem não-crescente nem não-decrescente).
Para a prova, vou assumir a leitura que mais exige exemplos interessantes: apresentar sequências que NÃO são nem não-crescente nem não-decrescente (isto é, sequências que têm ao menos uma subida e ao menos uma descida). Essa é a interpretação que permite dar exemplos não-triviais. Se o professor quisesse a Interpretação A, a resposta seria simplesmente “sim — qualquer sequência constante” e eu poderia dar exemplos constantes; como a intenção da questão costuma ser dar exemplos de sequências que não são monotônicas, vou construir sequências que apresentam tanto aumentos quanto diminuições.
Critério prático para mostrar que uma sequência não é não-crescente e também não é não-decrescente:
- Para mostrar que
NÃO é não-crescente, basta encontrar algum tal que
(uma subida).
- Para mostrar que
NÃO é não-decrescente, basta encontrar algum tal que
(uma descida).
Portanto, para provar que uma sequência é “nem não-crescente nem não-decrescente” basta demonstrar a existência de um aumento e de uma diminuição em índices possivelmente diferentes.
Portanto, para provar que uma sequência é “nem não-crescente nem não-decrescente” basta demonstrar a existência de um aumento e de uma diminuição em índices possivelmente diferentes.
Passo 4
Exemplo 1 (muito simples e padrão): a sequência
Primeiros termos:
,
,
,
, … ou seja a sequência é
.
Verificações (mostrando subida e descida):
- Subida: observe que
. Logo existe com , então a sequência NÃO é não-crescente. - Descida: observe que
. Logo existe com , então a sequência NÃO é não-decrescente.
Conclusão para o exemplo 1:
não é não-crescente nem não-decrescente — é exatamente um exemplo de sequência que oscila entre subida e descida.
Passo 5
Exemplo 2 (outro exemplo simples, com valores 1 e 0): a sequência definida por
Primeiros termos:
,
,
,
, … ou seja
.
Verificações:
- Descida:
, então existe com ; assim NÃO é não-decrescente. - Subida:
, então existe com ; assim NÃO é não-crescente.
Conclusão para o exemplo 2:
também não é não-crescente nem não-decrescente.]
Passo 6
Dica prática e conclusão didática (para a prova):
- Método rápido para construir exemplos que não são monotônicos: intercale dois valores diferentes (por exemplo,
e ou e ). Isso garante uma descida seguida de uma subida, logo falham as duas propriedades monotônicas. - Lembrete útil: se, pelo contrário, a sequência fosse ao mesmo tempo não-crescente e não-decrescente, então ela seria constante (caso trivial). Por isso, quando a questão pede exemplos “não monotônicos”, o que se quer normalmente é encontrar flutuações (subidas e descidas) — como nos exemplos acima.
Resposta
]