Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Divergente, decrescente e limitada.
Divergente, decrescente e limitada.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se é possível apresentar exemplos de sequências que satisfaçam simultaneamente as três propriedades abaixo, e que em caso positivo eu apresente dois exemplos, ou em caso negativo eu justifique por que não é possível. As três propriedades são:
- Divergente;
- Decrescente;
- Limitada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A tarefa é decidir possibilidade (existência) e, dependendo do caso, fornecer exemplos ou justificativa.
- Não há outros dados numéricos ou restrições além das três propriedades acima.
Passo 2
Vamos primeiro fixar definições claras (isso ajuda muito na prova; memorize estas versões):
Definição de sequência: uma sequência é uma função
definida para inteiros
.
Definição de divergente: a sequência
é dita divergente se não converge. Ou seja, não existe
tal que
(Observação: aqui “divergente” inclui tanto os casos que tendem a
quanto os que não têm limite finito nem infinito, por exemplo oscilações.)
Definição de decrescente: há duas interpretações comuns:
- “Estritamente decrescente”:
para todo . - “Não-increasing” (não crescente):
para todo .
As duas formas são monotonicidade (monótonas) — vou usar “decrescente” no sentido de monotona não crescente (
); o argumento a seguir vale também para o caso estritamente decrescente.
Definição de limitada: a sequência
é limitada se existe
tal que
Dito de outro modo,
é limitada se existe um intervalo
tal que
para todo
.
Passo 3
Enunciado do fato-chave que vamos usar (Teorema da convergência monótona, versão para decrescentes):
Se
é uma sequência decrescente (monótona não crescente) e limitada inferiormente (isto é, existe
com
para todo
), então
converge. Mais precisamente,
converge para
.
Esse teorema implica imediatamente que não pode existir uma sequência que seja ao mesmo tempo decrescente, limitada inferiormente e divergente.
Passo 4
Prova detalhada (é a prova clássica por
, guarde-a para a prova!):
Seja
decrescente e limitada inferiormente. Defina
Pelo fato de ser ínfimo, temos duas propriedades essenciais:
-
é um limite inferior, ou seja, para todo . - Para qualquer
, o número não é um limite inferior; portanto existe algum índice tal que
Agora use a monotonicidade decrescente: para todo
vale
(porque a sequência não aumenta). Então, para
temos
Isso dá
Como isso vale para todo
, concluímos que
. Ou seja, a sequência converge ao ínfimo. Prova encerrada.
Passo 5
Conclusão lógica aplicada ao problema:
- A propriedade “limitada” implica que a sequência é limitada superiormente e inferiormente; em particular, é limitada inferiormente.
- Se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, pelo teorema acima ela converge.
- Convergir e ser divergente são propiedades opostas: se converge, não é divergente.
Portanto não existe sequência que seja simultaneamente divergente, decrescente e limitada. Em outras palavras, o conjunto das três propriedades é inconsistente.
Passo 6
Observações úteis para você levar para a prova (truques mentais e exemplos para fixar o conceito):
- Exemplo de sequência decrescente e não limitada (portanto divergente):
. É decrescente, e (diverge), mas não é limitada. - Exemplo de sequência limitada e divergente (mas não decrescente):
. É limitada ( ) e diverge por oscilar, mas não é decrescente. - Exemplo de sequência decrescente e limitada (e portanto convergente):
. É decrescente, limitada e .
Esses exemplos ajudam a visualizar por que a combinação pedida (decrescente + limitada + divergente) é impossível: ou a decrescência com limite inferior dá convergência, ou a divergência exige falta de limite inferior (vai para
) ou ausência de monotonicidade (oscilações).
Força nos estudos — respirar fundo e praticar uns exercícios parecidos como estes ajuda a fixar o teorema!
Resposta
Não é possível: não existe sequência que seja ao mesmo tempo divergente, decrescente e limitada.