Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
Divergente, decrescente e limitada.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se é possível apresentar exemplos de sequências que satisfaçam simultaneamente as três propriedades abaixo, e que em caso positivo eu apresente dois exemplos, ou em caso negativo eu justifique por que não é possível. As três propriedades são:
  • Divergente;
  • Decrescente;
  • Limitada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A tarefa é decidir possibilidade (existência) e, dependendo do caso, fornecer exemplos ou justificativa.
  • Não há outros dados numéricos ou restrições além das três propriedades acima.

Passo 2

Vamos primeiro fixar definições claras (isso ajuda muito na prova; memorize estas versões):
Definição de sequência: uma sequência é uma função n\mapsto a_n definida para inteiros n\ge1.
Definição de divergente: a sequência (a_n) é dita divergente se não converge. Ou seja, não existe L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} a_n = L.
(Observação: aqui “divergente” inclui tanto os casos que tendem a \pm\infty quanto os que não têm limite finito nem infinito, por exemplo oscilações.)
Definição de decrescente: há duas interpretações comuns:
  • “Estritamente decrescente”: a_{n+1}<a_n para todo n.
  • “Não-increasing” (não crescente): a_{n+1}\le a_n para todo n.
As duas formas são monotonicidade (monótonas) — vou usar “decrescente” no sentido de monotona não crescente ( a_{n+1}\le a_n); o argumento a seguir vale também para o caso estritamente decrescente.
Definição de limitada: a sequência (a_n) é limitada se existe M>0 tal que
|a_n|\le M\quad\text{para todo }n.
Dito de outro modo, (a_n) é limitada se existe um intervalo [A,B] tal que a_n\in[A,B] para todo n.

Passo 3

Enunciado do fato-chave que vamos usar (Teorema da convergência monótona, versão para decrescentes):
Se (a_n) é uma sequência decrescente (monótona não crescente) e limitada inferiormente (isto é, existe m\in\mathbb{R} com a_n\ge m para todo n), então (a_n) converge. Mais precisamente, (a_n) converge para \ell=\inf\{a_n:\,n\ge1\}.
Esse teorema implica imediatamente que não pode existir uma sequência que seja ao mesmo tempo decrescente, limitada inferiormente e divergente.

Passo 4

Prova detalhada (é a prova clássica por \varepsilon, guarde-a para a prova!):
Seja (a_n) decrescente e limitada inferiormente. Defina
\ell := \inf\{a_n:\,n\ge1\}.
Pelo fato de ser ínfimo, temos duas propriedades essenciais:
  1. \ell é um limite inferior, ou seja, a_n\ge \ell para todo n.
  2. Para qualquer \varepsilon>0, o número \ell+\varepsilon não é um limite inferior; portanto existe algum índice N tal que
a_N < \ell + \varepsilon.
Agora use a monotonicidade decrescente: para todo n\ge N vale a_n\le a_N (porque a sequência não aumenta). Então, para n\ge N temos
\ell \le a_n \le a_N < \ell + \varepsilon.
Isso dá
|a_n-\ell| < \varepsilon \quad\text{para todo }n\ge N.
Como isso vale para todo \varepsilon>0, concluímos que \lim_{n\to\infty} a_n=\ell. Ou seja, a sequência converge ao ínfimo. Prova encerrada.

Passo 5

Conclusão lógica aplicada ao problema:
  • A propriedade “limitada” implica que a sequência é limitada superiormente e inferiormente; em particular, é limitada inferiormente.
  • Se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, pelo teorema acima ela converge.
  • Convergir e ser divergente são propiedades opostas: se converge, não é divergente.
    Portanto não existe sequência que seja simultaneamente divergente, decrescente e limitada. Em outras palavras, o conjunto das três propriedades é inconsistente.

Passo 6

Observações úteis para você levar para a prova (truques mentais e exemplos para fixar o conceito):
  • Exemplo de sequência decrescente e não limitada (portanto divergente): a_n=-n. É decrescente, e \lim_{n\to\infty} a_n=-\infty (diverge), mas não é limitada.
  • Exemplo de sequência limitada e divergente (mas não decrescente): a_n=(-1)^n. É limitada ( |a_n|\le1) e diverge por oscilar, mas não é decrescente.
  • Exemplo de sequência decrescente e limitada (e portanto convergente): a_n=\dfrac{1}{n}. É decrescente, limitada e \lim a_n=0.
Esses exemplos ajudam a visualizar por que a combinação pedida (decrescente + limitada + divergente) é impossível: ou a decrescência com limite inferior dá convergência, ou a divergência exige falta de limite inferior (vai para -\infty) ou ausência de monotonicidade (oscilações).
Força nos estudos — respirar fundo e praticar uns exercícios parecidos como estes ajuda a fixar o teorema!

Resposta

Não é possível: não existe sequência que seja ao mesmo tempo divergente, decrescente e limitada.

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