Diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo j \omega : [Seção: 6.2]
P(s)=s^{5}+3 s^{4}+5 s^{3}+4 s^{2}+s+3

Passo 1

O enunciado pede quantas raízes do polinômio
P(s)=s^{5}+3s^{4}+5s^{3}+4s^{2}+s+3
estão no semiplano direito (\Re(s)>0), no semiplano esquerdo (\Re(s)<0) e sobre o eixo imaginário (\Re(s)=0). Para isso, vamos usar o critério de Routh–Hurwitz, que conta mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh.

Passo 2

Primeiro montamos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes de P(s).
\begin{array}{c|ccc} s^{5} & 1 & 5 & 1\\\ s^{4} & 3 & 4 & 3 \end{array}

Passo 3

Calculamos a linha s^3 usando
a_{11}=\frac{3\cdot5-1\cdot4}{3}=\frac{15-4}{3}=\frac{11}{3}, \quad a_{12}=\frac{3\cdot1-1\cdot3}{3}=\frac{3-3}{3}=0.
Então
\begin{array}{c|cc} s^{3} & \tfrac{11}{3} & 0 \end{array}

Passo 4

Da mesma forma, a linha s^2 vem de
b_{11}=\frac{\tfrac{11}{3}\cdot4-3\cdot0}{\tfrac{11}{3}}=4, \quad b_{12}=\frac{\tfrac{11}{3}\cdot3-3\cdot0}{\tfrac{11}{3}}=3.
Logo
\begin{array}{c|cc} s^{2} & 4 & 3 \end{array}

Passo 5

Agora a linha s^1 e s^0. Para s^1:
c_{11}=\frac{4\cdot0-\tfrac{11}{3}\cdot3}{4}=-\frac{11}{4}, \qquad c_{12}=0.
E a linha s^0 copia o termo constante:
\begin{array}{c|cc} s^{1} & -\tfrac{11}{4} & 0\\\ s^{0} & 3 & \end{array}

Passo 6

A primeira coluna completa é
\begin{matrix} s^5:&+1\\\ s^4:&+3\\\ s^3:&+\tfrac{11}{3}\\\ s^2:&+4\\\ s^1:&-\tfrac{11}{4}\\\ s^0:&+3 \end{matrix}
Contamos mudanças de sinal de cima para baixo: há duas mudanças (+4\to-11/4 e -11/4\to+3).
Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com \Re(s)>0 é igual a 2. Não houve linhas nulas nem zeros isolados, logo não há raízes sobre o eixo j\omega. As demais raízes ficam no semiplano esquerdo.

Resposta

2 raízes no semiplano direito, 3 raízes no semiplano esquerdo e 0 raízes sobre o eixo j\omega.

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