Em aeronaves convencionais típicas, a linearização do modelo de voo longitudinal resulta em funções de transferência com dois pares de polos complexos conjugados. Consequentemente, a resposta natural para esses aviões possui dois modos. O modo de “período curto” é relativamente bem amortecido e possui uma oscilação de alta frequência. O “modo fugoide” é levemente amortecido e sua frequência de oscilação é relativamente baixa. Por exemplo, em uma aeronave específica a função de transferência da deflexão do profundor da asa para o ângulo do nariz (ângulo de ataque) é (McRuer, 1973)
\begin{aligned} & \frac{\theta(s)}{\delta_{e}(s)}= \\\ & -\frac{26,12(s+0,0098)(s+1,371)}{\left(s^{2}+8,99 \times 10^{-3} s+3,97 \times 10^{-3}\right)\left(s^{2}+4,21 s+18,23\right)} \end{aligned}
a. Determine quais dos polos correspondem ao modo de período curto e quais correspondem ao modo fugoide.
b. Realize uma “aproximação fugoide” (aproximação por polos dominantes), mantendo os dois polos e o zero mais próximos ao eixo \omega.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência da deflexão do profundor para o ângulo de cabragem
\frac{\theta(s)}{\delta_{e}(s)} =-\frac{26,12\,(s+0,0098)(s+1,371)}{\bigl(s^{2}+8{,}99\times10^{-3}s+3{,}97\times10^{-3}\bigr)\,\bigl(s^{2}+4{,}21s+18{,}23\bigr)}
e pede:
  1. Identificar quais polos pertencem ao modo de período curto (alta frequência, amortecimento moderado) e quais ao modo fugoide (baixa frequência, leve amortecimento).
  2. Fazer a aproximação fugoide, mantendo apenas o par de polos de phugoid e o zero mais próximo do eixo \omega.

Passo 2

Vamos achar os parâmetros de cada par de polos a partir dos coeficientes dos quadráticos.
Para o primeiro par (modo fugoide) o denominador é
s^{2}+8{,}99\times10^{-3}s+3{,}97\times10^{-3}.
A frequência natural é
\omega_{n\varphi}=\sqrt{3{,}97\times10^{-3}}\approx0{,}063\;\mathrm{rad/s},
e o amortecimento
\zeta_{\varphi}=\frac{8{,}99\times10^{-3}}{2\,\omega_{n\varphi}}\approx0{,}071.
Para o segundo par (modo de período curto) o denominador é
s^{2}+4{,}21s+18{,}23,
com
\omega_{n_{sp}}=\sqrt{18{,}23}\approx4{,}27\;\mathrm{rad/s}, \quad \zeta_{sp}=\frac{4{,}21}{2\,\omega_{n_{sp}}}\approx0{,}49.
Como phugoid é o modo de baixa frequência e leve amortecimento ( \omega_{n\varphi}\ll\omega_{n_{sp}}, \zeta_{\varphi}\ll\zeta_{sp}), concluímos:
  • o par de polos de \;s^{2}+8{,}99\times10^{-3}s+3{,}97\times10^{-3} é o modo fugoide;
  • o par de polos de \;s^{2}+4{,}21s+18{,}23 é o modo de período curto.

Passo 3

Os zeros estão em s=-0{,}0098 e s=-1{,}371. O zero mais próximo do eixo imaginário (menor valor absoluto de parte real) é s=-0{,}0098.

Passo 4

Para a aproximação fugoide, removemos o par de polos rápidos ( s^{2}+4{,}21s+18{,}23) e o zero em -1{,}371, mas substituímos o efeito estático desse bloco rápido por seu ganho em s=0:
H_{\text{rápido}}(0) =\frac{0+1,371}{0+18,23}=0{,}0752.á
O ganho total original é -26,12, então o ganho reduzido fica
K_{\varphi}=-26,12\times0{,}0752\approx-1{,}96.

Resposta

a) Os polos do modo fugoide são raízes de
s^{2}+8{,}99\times10^{-3}s+3{,}97\times10^{-3},
e os polos do modo de período curto são raízes de
s^{2}+4{,}21s+18{,}23.
b) A aproximação fugoide, mantendo só os polos lentos e o zero em -0{,}0098, é
\frac{\theta(s)}{\delta_{e}(s)}\approx -1{,}96\,\frac{s+0{,}0098}{s^{2}+8{,}99\times10^{-3}s+3{,}97\times10^{-3}}.

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