- Diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo
: [Seção: 6.3]
Passo 1
O enunciado pede para determinar quantas raízes do polinômio
ficam no semiplano direito (
), no semiplano esquerdo (
) e sobre o eixo imaginário (
).
O método padrão para isso é o critério de Routh–Hurwitz, que nos permite contar diretamente, pela tabela de Routh, o número de raízes em .
O método padrão para isso é o critério de Routh–Hurwitz, que nos permite contar diretamente, pela tabela de Routh, o número de raízes em
Passo 2
Começamos montando a primeira metade da tabela de Routh. Note que falta o termo
, então o coeficiente é zero.
Passo 3
O elemento na linha
e primeira coluna é zero, o que impede o cálculo direto da linha
. Substituímos esse zero por um
(tendendo a zero) e montamos a linha
usando a regra
Assim, com
temos
isto é, ambos os elementos são negativos para
.
Passo 4
Agora montamos a linha
usando
O primeiro elemento de
vale
e o segundo
Portanto
Passo 5
Em seguida, a linha
a partir de
é
e a linha
é simplesmente o termo constante
.
Assim, a tabela de Routh completa na primeira coluna tem os sinais:
Passo 6
Contamos as variações de sinal na primeira coluna:
nenhuma,
uma,
duas,
três,
quatro.
Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com
é igual ao número de mudanças de sinal: 4.
Não houve linha de zeros nem colunas nulas além do caso resolvido, logo não há raízes sobre o eixo .
Como o polinômio é de grau 5, as demais raiz está em
.
Não houve linha de zeros nem colunas nulas além do caso resolvido, logo não há raízes sobre o eixo
Como o polinômio é de grau 5, as demais
Resposta
Semiplano direito: 4
Semiplano esquerdo: 1
Eixo : 0
Semiplano esquerdo: 1
Eixo