1. Diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo j \omega : [Seção: 6.3]
P(s)=s^{5}+6 s^{3}+5 s^{2}+8 s+20

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas raízes do polinômio
P(s)=s^{5}+6s^{3}+5s^{2}+8s+20
ficam no semiplano direito ( \Re(s)>0), no semiplano esquerdo ( \Re(s)<0) e sobre o eixo imaginário ( s=j\omega).
O método padrão para isso é o critério de Routh–Hurwitz, que nos permite contar diretamente, pela tabela de Routh, o número de raízes em \Re(s)>0.

Passo 2

Começamos montando a primeira metade da tabela de Routh. Note que falta o termo s^4, então o coeficiente é zero.
\begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 6 & 8 \\\ s^4 & 0 & 5 & 20 \\\ \hline s^3 & & & \\\ s^2 & & & \\\ s^1 & & & \\\ s^0 & & & \end{array}

Passo 3

O elemento na linha s^4 e primeira coluna é zero, o que impede o cálculo direto da linha s^3. Substituímos esse zero por um \varepsilon>0 (tendendo a zero) e montamos a linha s^3 usando a regra
a_{ij}=\frac{% \bigl(\text{primeiro elemento da linha acima}\bigr)\times(\text{coluna seguinte da linha acima})- (\text{primeiro elemento da linha de cima de cima})\times(\text{coluna seguinte de lá}) }{\text{primeiro elemento da linha acima}}.
Assim, com
\text{linha }s^5:\;1,\;6,\;8 \quad\text{e}\quad \text{linha }s^4:\;\varepsilon,\;5,\;20,
temos
\text{linha }s^3:\; \bigl(\tfrac{\varepsilon\cdot6-1\cdot5}{\varepsilon}\bigr),\; \bigl(\tfrac{\varepsilon\cdot8-1\cdot20}{\varepsilon}\bigr),\;0 \;\approx\;-\,\infty,\;-\,\infty,\;0,
isto é, ambos os elementos são negativos para \varepsilon\to0^+.

Passo 4

Agora montamos a linha s^2 usando
\text{linha }s^3:\;a_1<0,\;a_2<0,\;0 \quad\text{e}\quad \text{linha }s^4:\;\varepsilon,\;5,\;20.
O primeiro elemento de s^2 vale
\frac{a_1\cdot5-\varepsilon\cdot a_2}{a_1} =5-\varepsilon\,\frac{a_2}{a_1}\approx5>0,
e o segundo
\frac{a_1\cdot20-\varepsilon\cdot0}{a_1}=20>0.
Portanto
\text{linha }s^2:\;5,\;20,\;0.

Passo 5

Em seguida, a linha s^1 a partir de
\text{linha }s^2:\;5,\;20 \quad\text{e}\quad \text{linha }s^3:\;a_1,\;a_2
é
\frac{5\cdot a_2 - a_1\cdot20}{5} =\frac{5(8-\tfrac{20}{\varepsilon})-(6-\tfrac{5}{\varepsilon})\cdot20}{5} =-16<0,
e a linha s^0 é simplesmente o termo constante 20>0.
Assim, a tabela de Routh completa na primeira coluna tem os sinais:
\begin{array}{c|c} s^5 & + \\\ s^4 & + \\\ s^3 & - \\\ s^2 & + \\\ s^1 & - \\\ s^0 & + \end{array}

Passo 6

Contamos as variações de sinal na primeira coluna:
+\to+ nenhuma,
+\to- uma,
-\to+ duas,
+\to- três,
-\to+ quatro.
Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com \Re(s)>0 é igual ao número de mudanças de sinal: 4.
Não houve linha de zeros nem colunas nulas além do caso resolvido, logo não há raízes sobre o eixo j\omega.
Como o polinômio é de grau 5, as demais 5-4=1 raiz está em \Re(s)<0.

Resposta

Semiplano direito: 4
Semiplano esquerdo: 1
Eixo j\omega: 0

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