O sistema com realimentação unitária da Figura P7.1, em que
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+3 s+30\right)}{s^{n}(s+5)}
deve ter um erro de 1 / 6000 entre uma entrada de 10 t u(t) e a saída em regime permanente. [Seção: 7.4]
a. Determine K e n para atender à especificação.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de realimentação unitária com
G(s)=\frac{K\bigl(s^{2}+3s+30\bigr)}{s^{n}(s+5)}
e entrada em rampa r(t)=10\,t\,u(t). Queremos que o erro estacionário seja
\displaystyle e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{6000}. Para resolver usamos o conceito de constante de velocidade e o tipo de sistema (número de polos em origem).

Passo 2

Em sistemas de realimentação unitária, para entrada rampa r(t)=A\,t o erro estacionário é
e_{\mathrm{ss}}=\frac{A}{K_{v}},
onde a constante de velocidade é
K_{v}=\lim_{s\to0}s\,G(s).
Além disso, para que K_{v} seja finito e não nulo é preciso que o sistema seja de tipo 1 (um único polo em s=0).

Passo 3

Logo, devemos escolher
n=1,
pois
  • se n=0 não haveria integrador e K_{v}=0 (erro infinito),
  • se n\ge2 teríamos e_{\mathrm{ss}}=0 (erro nulo) e não o valor desejado.

Passo 4

Com n=1, calculemos
K_{v}=\lim_{s\to0}s\,\frac{K\bigl(s^{2}+3s+30\bigr)}{s\,(s+5)} =\lim_{s\to0}\frac{K\bigl(s^{2}+3s+30\bigr)}{s+5} =\frac{K\cdot30}{5}=6K.

Passo 5

Queremos e_{\mathrm{ss}}=1/6000 para A=10, ou seja
\frac{A}{K_{v}}=\frac{10}{6K}=\frac{1}{6000}.
Resolvendo para K:
\frac{10}{6K}=\frac{1}{6000} \quad\Longrightarrow\quad 6K=10\cdot6000 \quad\Longrightarrow\quad K=10000.

Resposta

n=1 e K=10000.

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