Diga quantas das seguintes relações são funções. (Justifique)
R=(x, y) in N times N mid x-y=5

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas das relações dadas são funções. Aqui só temos uma relação
R = (x,y)inNtimesNmid x - y = 5
Vamos verificar se ela satisfaz a definição de função como relação de N em N.

Passo 2

Lembrando a definição: uma relação Rsubseteq Atimes B é uma função se, para cada xin A, existe exatamente um yin B tal que (x,y)in R. Isso envolve duas coisas:
  1. Existência: todo x deve aparecer em pelo menos um par (x,y).
  2. Unicidade: para cada x só pode existir um único y.

Passo 3

Na nossa relação, os pares satisfazem
x - y = 5 Longrightarrow y = x - 5
Para cada xinN tal que exista algum yinN com y=x-5, esse y é necessariamente único, pois a equação determina y de forma unívoca.

Passo 4

Note que nem todo xinN fornece um yinN: de fato, se x<5, então y=x-5 é negativo e não está em N, logo esses x não aparecem na relação. Mas a definição de função vale em relação ao domínio efetivo da relação, que aqui é
xinNmid x>=5,
e para cada um desses x existe exatamente um y.

Passo 5

Concluímos que R satisfaz o critério de função (unicidade de y para cada x em seu domínio). Como só havia essa única relação, a resposta é:

Resposta

Exercícios relacionados