Diga quantas das seguintes relações são funções. (Justifique)
R=(x, y) in R times R mid sen(x)=cos (y)

Passo 1

O enunciado dá a relação
R = (x,y)inRtimesRmid sin(x)=cos(y)
e pergunta quantas dessas relações são funções. O conteúdo aqui é entender a definição de função como uma relação na qual cada x do domínio está associado a exatamente um y.

Passo 2

Para que R seja uma função de R em R, para cada x fixo deve haver um único y tal que (x,y)in R.
Dado x qualquer, impomos
sin(x)=cos(y)
Usamos a identidade sin(x)=cosl(tfracpi2-xr), então
cos(y)=cos!l(tfracpi2-xr)

Passo 3

Da equação cos(y)=cos(alpha) sabemos que
y = 2kpi pm alpha, kinZ
Aqui alpha = tfracpi2-x, logo
y = 2kpi pm l(tfracpi2-xr),
ou seja, para cada x existem infinitos y.

Passo 4

Como para cada x não há unicidade de y, R não satisfaz a definição de função. Logo, nenhuma das relações é função.

Resposta

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