Diga se a recta r \equiv(1,1,1)+\langle(1,0,1)\rangle intersecta o plano \pi \equiv x+y=2.

Passo 1

O enunciado pergunta se a recta r intersecta o plano \pi. As informações dadas são:
  • A recta r está dada por um ponto e um vector direcção: ponto inicial (1,1,1) e vector direcção (1,0,1).
  • O plano \pi é dado pela equação x+y=2.
    O que se pede: determinar se existe um ponto comum entre r e \pi (ou seja, se há intersecção) e, em caso afirmativo, qual é esse ponto.

Passo 2

Primeiro transformamos a descrição da recta numa forma paramétrica — isto é útil porque permite substituir as coordenadas da recta na equação do plano e verificar se existe um parâmetro que satisfaz a equação do plano.
  • Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro da recta. A partir de (1,1,1)+t(1,0,1) obtemos as coordenadas paramétricas:
x=1+t,\qquad y=1,\qquad z=1+t.
Explicação curta: t desloca o ponto (1,1,1) na direcção (1,0,1); para cada t obtemos um ponto da recta.

Passo 3

Agora usamos o método mais directo: substituir x e y paramétricos na equação do plano \pi.
A equação do plano é x+y=2. Substituindo:
(1+t)+1=2.
Resolver esta equação dá
2+t=2 \quad\Rightarrow\quad t=0.
Interpretação: existe um valor real de t que faz com que as coordenadas da recta satisfaçam a equação do plano, logo há intersecção.

Passo 4

Com t=0 obtemos o ponto de intersecção substituindo nas coordenadas paramétricas:
x=1+0=1,\qquad y=1,\qquad z=1+0=1.
Portanto o ponto de intersecção é (1,1,1).

Passo 5

Verificação alternativa (intuitiva): o vector normal do plano \pi é \mathbf{n}=(1,1,0). O vector direcção da recta é \mathbf{v}=(1,0,1). O produto escalar
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1=1\neq0,
ou seja, a recta não é paralela ao plano (cruzaria o plano em algum ponto, se um ponto da recta estiver a “alcance”). Além disso o ponto inicial da recta (1,1,1) satisfaz 1+1=2, logo já pertence ao plano. Assim a recta corta o plano exactamente nesse ponto (intersecção única).

Resposta

Sim. Intersectam em (1,1,1).

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