Diga se a recta
intersecta o plano
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a recta
intersecta o plano
. As informações dadas são:
- A recta
está dada por um ponto e um vector direcção: ponto inicial e vector direcção . - O plano
é dado pela equação .
O que se pede: determinar se existe um ponto comum entree (ou seja, se há intersecção) e, em caso afirmativo, qual é esse ponto.
Passo 2
Primeiro transformamos a descrição da recta numa forma paramétrica — isto é útil porque permite substituir as coordenadas da recta na equação do plano e verificar se existe um parâmetro que satisfaz a equação do plano.
- Seja
o parâmetro da recta. A partir de obtemos as coordenadas paramétricas:
Explicação curta:
desloca o ponto
na direcção
; para cada
obtemos um ponto da recta.
Passo 3
Agora usamos o método mais directo: substituir
e
paramétricos na equação do plano
.
A equação do plano é . Substituindo:
A equação do plano é
Resolver esta equação dá
Interpretação: existe um valor real de
que faz com que as coordenadas da recta satisfaçam a equação do plano, logo há intersecção.
Passo 4
Com
obtemos o ponto de intersecção substituindo nas coordenadas paramétricas:
Portanto o ponto de intersecção é
.
Passo 5
Verificação alternativa (intuitiva): o vector normal do plano
é
. O vector direcção da recta é
. O produto escalar
ou seja, a recta não é paralela ao plano (cruzaria o plano em algum ponto, se um ponto da recta estiver a “alcance”). Além disso o ponto inicial da recta
satisfaz
, logo já pertence ao plano. Assim a recta corta o plano exactamente nesse ponto (intersecção única).
Resposta
Sim. Intersectam em
.