Diga se o seguinte par de rectas são ou não coplanares:
r: \quad \frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}-7}{-2}=\frac{\mathrm{z}-2}{3} \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{s}:\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\mathrm{t} \\\ \mathrm{y}=-1+6 \mathrm{t} \\\ \mathrm{z}=8+\mathrm{t}\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá as duas retas r:\quad \frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}-7}{-2}=\frac{\mathrm{z}-2}{3}e s:\begin{cases}\mathrm{x}=-\mathrm{t}\\[4pt]\mathrm{y}=-1+6\mathrm{t}\\[4pt]\mathrm{z}=8+\mathrm{t}\end{cases}
  • Pede para decidir se as duas retas são coplanares (isto é, se existe um único plano que contém ambas).]

Passo 2

Passo importante: passar a reta r para forma paramétrica e identificar um ponto nela e o seu vetor direção.
  • Colocar um parâmetro comum, chamar de \lambda, tal que \frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}-7}{-2}=\frac{\mathrm{z}-2}{3}=\lambda.
  • Daí obtemos as coordenadas em função de \lambda: \mathrm{x}=-3+2\lambda,\qquad \mathrm{y}=7-2\lambda,\qquad \mathrm{z}=2+3\lambda.
  • Um ponto de r (tomando \lambda=0) é P_0 = (-3,\,7,\,2).
  • O vetor direção de r (coeficientes de \lambda) é \mathbf{u}=(2,\,-2,\,3).
Explicação curta: o vetor direção indica para onde a reta “aponta” quando o parâmetro cresce; o ponto é uma referência na reta.

Passo 3

Identificar ponto e vetor direção da reta s dada em forma paramétrica.
  • As equações já estão em função de t: \mathrm{x}=-\mathrm{t},\qquad \mathrm{y}=-1+6\mathrm{t},\qquad \mathrm{z}=8+\mathrm{t}.
  • Tomando t=0 obtemos um ponto em s: Q_0=(0,\,-1,\,8).
  • O vetor direção de s são os coeficientes de t: \mathbf{v}=(-1,\,6,\,1).

Passo 4

Critério usado para decidir coplanaridade (aula rápida, sem pular passos):
  • Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e só se o volume do paralelepípedo que eles formam for zero.
  • O volume (com sinal) desse paralelepípedo é dado pelo produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois): \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).Aqui \mathbf{u} e \mathbf{v} são os vetores direção das retas e \mathbf{w} é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta (por exemplo \mathbf{w}=Q_0-P_0).
  • Se \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=0então \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} são coplanares, o que significa que as retas estão no mesmo plano (são coplanares). Caso contrário, as retas são reversas (não coplanares).
Explicação intuitiva: se o volume formado não for zero, não há plano que contenha simultaneamente os três vetores (logo não há plano que contenha as duas direções e a ligação entre pontos), portanto as retas são reversas.

Passo 5

Calcular o vetor que liga P_0 a Q_0:
  • Usar \mathbf{w}=Q_0-P_0. Substituindo os pontos: \mathbf{w}=(0-(-3),\; -1-7,\; 8-2)=(3,\,-8,\,6).
Expliquei: subtrai componente a componente.

Passo 6

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}. Usar a regra do determinante (com passos):
  • Escrever \mathbf{v}=(-1,6,1) e \mathbf{w}=(3,-8,6).
  • Calcular cada componente: \mathbf{v}\times\mathbf{w}=\bigl(6\cdot6-1\cdot(-8),\; -\bigl((-1)\cdot6-1\cdot3\bigr),\; (-1)\cdot(-8)-6\cdot3\bigr).
  • Avaliar os termos: 6\cdot6-1\cdot(-8)=36+8=44,
(-1)\cdot6-1\cdot3=-6-3=-9\quad\Rightarrow\quad -(-9)=9,
(-1)\cdot(-8)-6\cdot3=8-18=-10.
  • Logo \mathbf{v}\times\mathbf{w}=(44,\,9,\,-10).

Passo 7

Calcular o produto misto \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) e concluir:
  • Lembrando \mathbf{u}=(2,-2,3).
  • Fazer o produto escalar: \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=2\cdot44+(-2)\cdot9+3\cdot(-10).
  • Avaliar: 2\cdot44=88,\qquad (-2)\cdot9=-18,\qquad 3\cdot(-10)=-30.
88-18-30=40.
  • Como o resultado é \;40\neq0\;, o produto misto não é nulo. Portanto os vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} não são coplanares, o que significa que não existe um plano que contenha simultaneamente as duas retas.
Conclusão: as retas não são coplanares (são reversas).

Resposta

Não, as retas não são coplanares (são reversas).

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