Escrever a equação do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}(-2 ; 7 ; 3) e \mathrm{B}(1 ;-2 ; 8), perpendicularmente ao plano \pi_{1}: 7 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}-10=0
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dados os pontos \mathrm{A}(-2;7;3) e \mathrm{B}(1;-2;8).
Dado o plano \pi_{1}: 7x-3y+2z-10=0.
Pede-se a equação do plano que passa por \mathrm{A} e \mathrm{B} e que é perpendicular ao plano \pi_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Um vetor normal ao plano \pi_{1} é \vec{n}_1=(7,-3,2) (peguei isso da equação de \pi_{1}).
O plano que procuramos deve conter a reta que liga \mathrm{A} a \mathrm{B}.
O plano procurado é perpendicular a \pi_{1}, portanto o vetor normal do plano procurado deve ser perpendicular a \vec{n}_1.
Passo 2
Estratégia (explicação conceitual, sem calcular ainda):
Se dois planos são perpendiculares, então seus vetores normais são perpendiculares. Ou seja, se \vec{n}_2 é normal ao plano que queremos, deve valer \vec{n}_2\cdot\vec{n}_1=0.
Como o plano procurado contém a reta \overline{AB}, o vetor diretor dessa reta está contido no plano. Logo o vetor normal \vec{n}_2 deve ser perpendicular ao vetor diretor \vec{d}_{AB}.
Um vetor perpendicular simultaneamente a \vec{n}_1 e a \vec{d}_{AB} pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \vec{n}_2=\vec{n}_1\times\vec{d}_{AB}.
Depois de achar \vec{n}_2, a equação do plano passa por um ponto conhecido (por exemplo \mathrm{A}) e tem a forma \vec{n}_2\cdot\big((x,y,z)-\mathrm{A}\big)=0.