Escrever a equação do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}(-2 ; 7 ; 3) e \mathrm{B}(1 ;-2 ; 8), perpendicularmente ao plano \pi_{1}: 7 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}-10=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados os pontos \mathrm{A}(-2;7;3) e \mathrm{B}(1;-2;8).
  • Dado o plano \pi_{1}: 7x-3y+2z-10=0.
  • Pede-se a equação do plano que passa por \mathrm{A} e \mathrm{B} e que é perpendicular ao plano \pi_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um vetor normal ao plano \pi_{1} é \vec{n}_1=(7,-3,2) (peguei isso da equação de \pi_{1}).
  • O plano que procuramos deve conter a reta que liga \mathrm{A} a \mathrm{B}.
  • O plano procurado é perpendicular a \pi_{1}, portanto o vetor normal do plano procurado deve ser perpendicular a \vec{n}_1.

Passo 2

Estratégia (explicação conceitual, sem calcular ainda):
  • Se dois planos são perpendiculares, então seus vetores normais são perpendiculares. Ou seja, se \vec{n}_2 é normal ao plano que queremos, deve valer \vec{n}_2\cdot\vec{n}_1=0.
  • Como o plano procurado contém a reta \overline{AB}, o vetor diretor dessa reta está contido no plano. Logo o vetor normal \vec{n}_2 deve ser perpendicular ao vetor diretor \vec{d}_{AB}.
  • Um vetor perpendicular simultaneamente a \vec{n}_1 e a \vec{d}_{AB} pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \vec{n}_2=\vec{n}_1\times\vec{d}_{AB}.
  • Depois de achar \vec{n}_2, a equação do plano passa por um ponto conhecido (por exemplo \mathrm{A}) e tem a forma \vec{n}_2\cdot\big((x,y,z)-\mathrm{A}\big)=0.
Vou agora aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o vetor diretor da reta \overline{AB}:
\vec{d}_{AB}=\overrightarrow{AB}=\mathrm{B}-\mathrm{A}=(1-(-2),\;-2-7,\;8-3).
Fazendo as subtrações:
\vec{d}_{AB}=(3,\;-9,\;5).

Passo 4

Definição e cálculo do produto vetorial (para obter o normal do plano):
  • Lembrete: o produto vetorial de dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é o vetor
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big),
que é perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}.
  • Aqui \vec{n}_1=(7,-3,2) e \vec{d}_{AB}=(3,-9,5). Então calculamos
\vec{n}_2=\vec{n}_1\times\vec{d}_{AB}.
Usando a fórmula coordenada a coordenada:
\vec{n}_2=\big((-3)\cdot5-2\cdot(-9),\;2\cdot3-7\cdot5,\;7\cdot(-9)-(-3)\cdot3\big).

Passo 5

Fazendo as contas coordenada a coordenada:
  • Primeira componente:
(-3)\cdot5-2\cdot(-9)=-15+18=3.
  • Segunda componente:
2\cdot3-7\cdot5=6-35=-29.
  • Terceira componente:
7\cdot(-9)-(-3)\cdot3=-63+9=-54.
Portanto
\vec{n}_2=(3,-29,-54).
Observação: qualquer múltiplo escalar de \vec{n}_2 também seria um normal válido; escolhemos esse vetor inteiro sem fator comum.

Passo 6

Montar a equação do plano usando a forma vetorial e o ponto \mathrm{A}:
  • A forma vetorial é \vec{n}_2\cdot\big((x,y,z)-\mathrm{A}\big)=0.
  • Escrevendo isso explicitamente com \vec{n}_2=(3,-29,-54) e \mathrm{A}(-2,7,3):
3\big(x-(-2)\big)-29\big(y-7\big)-54\big(z-3\big)=0.

Passo 7

Expandir e simplificar a equação:
Primeiro reescrever termos:
3(x+2)-29(y-7)-54(z-3)=0.
Agora expandir cada termo:
3x+6-29y+203-54z+162=0.
Somar as constantes:
6+203+162=371.
Logo a equação fica
3x-29y-54z+371=0.

Passo 8

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Checar que \mathrm{B}(1,-2,8) satisfaz a equação:
3\cdot1-29\cdot(-2)-54\cdot8+371=3+58-432+371=0.
Portanto \mathrm{B} pertence ao plano (ok).
  • Checar que \vec{n}_2 é perpendicular a \vec{n}_1:
\vec{n}_2\cdot\vec{n}_1=3\cdot7+(-29)\cdot(-3)+(-54)\cdot2=21+87-108=0.
Logo os planos são perpendiculares (ok).

Resposta

3x-29y-54z+371=0

Exercícios relacionados