Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
a) O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.
b) A matriz nula m \times n é a única matriz m \times n que tem posto 0 .
c) Operações elementares linha preservam o posto.
d) O posto de uma matriz n \times n é no maximo n.
e) Uma matriz n \times n que tem posto n é invertivel.

Passo 1

O enunciado pede que se determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa:
a) O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.
b) A matriz nula m\times n é a única matriz m\times n que tem posto 0.
c) Operações elementares linha preservam o posto.
d) O posto de uma matriz n\times n é no máximo n.
e) Uma matriz n\times n que tem posto n é invertível.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado que vamos usar:
  • O “posto” denota a dimensão do espaço gerado pelas colunas (ou equivalentemente pelas linhas) de uma matriz; isto é, \operatorname{rank}(A)=\dim(\text{colunaes de }A).
  • As matrizes consideradas podem ter entradas em um corpo comum (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}); as propriedades de posto e invertibilidade valem nesses contextos.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática, passo a passo): o que é o posto de uma matriz?
  • Seja A uma matriz m\times n. A aplicação linear associada é x\mapsto A x, que leva vetores de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) para \mathbb{R}^m.
  • O espaço coluna de A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. O posto de A, \operatorname{rank}(A), é a dimensão desse espaço coluna — ou seja, o número máximo de colunas linearmente independentes de A.
  • Importante distinguir: uma coluna “não nula” significa que ela não é o vetor zero; já “linearmente independente” é uma propriedade entre várias colunas. Duas colunas não nulas podem ser múltiplos entre si (logo dependentes).
  • Teorema útil (rank-nullity, que vou usar sem demonstração longa): para A de tamanho m\times n,
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n,
onde \operatorname{nullity}(A) é a dimensão do núcleo \{x:Ax=0\}.

Passo 3

Análise da afirmação (a): “O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.”
  • Interpretação: a afirmação diz que basta contar quantas colunas são diferentes do vetor zero para obter o posto.
  • Contraexemplo simples que mostra que isso é falso: considere a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Ambas as colunas são não nulas (há duas colunas não nulas), mas a segunda coluna é igual à primeira, logo as colunas são linearmente dependentes. O espaço coluna é gerado por apenas um vetor, então
\operatorname{rank}(A)=1 \neq 2.
  • Conclusão: a afirmação (a) é falsa, porque posto conta colunas linearmente independentes, não apenas colunas diferente do zero.]

Passo 4

Análise da afirmação (b): “A matriz nula m\times n é a única matriz m\times n que tem posto 0.”
  • Lembrete: \operatorname{rank}(A)=0 significa que o espaço coluna tem dimensão 0. O único subespaço de dimensão 0 é o conjunto que contém apenas o vetor zero.
  • Se \operatorname{rank}(A)=0, então cada coluna de A deve ser o vetor zero (porque todas as colunas pertencem ao espaço coluna, que só contém 0). Assim A é a matriz zero.
  • Recíproco: a matriz nula claramente tem espaço coluna \{0\}, então tem posto 0.
  • Portanto existe exatamente uma matriz m\times n com posto 0: a matriz nula. Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação (c): “Operações elementares linha preservam o posto.”
  • Explicação didática do que são operações elementares linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Cada uma dessas operações é reversível (tem operação inversa do mesmo tipo).
  • Fato chave e argumento elegante: aplicar uma operação elementar linha à matriz A é o mesmo que multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E (onde E é invertível). Ou seja, a transformação é A\mapsto E A com E invertível.
  • Propriedade usada: se E é invertível, então o núcleo da transformação definida por A e por EA é o mesmo. De fato, EA x=0 implica A x=E^{-1}0=0, e recíprocamente A x=0 implica EA x=0. Assim \operatorname{nullity}(A)=\operatorname{nullity}(EA).
  • Pelo teorema da dimensão (rank-nullity), como \operatorname{nullity} é preservada e n (nº de colunas) é o mesmo, segue que \operatorname{rank}(EA)=\operatorname{rank}(A).
  • Intuição: operações linha reorganizam e combinam linhas mas não criam nem destroem independência entre colunas de maneira que altere a dimensão do espaço gerado.
  • Conclusão: a afirmação (c) é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmação (d): “O posto de uma matriz n\times n é no máximo n.”
  • Observação geral válida para qualquer matriz m\times n: o posto não pode exceder n (o número de colunas) nem exceder m (o número de linhas). Em fórmula:
\operatorname{rank}(A)\le \min(m,n).
  • Justificativa simples: o posto é o número máximo de colunas linearmente independentes; não é possível ter mais vetores linearmente independentes num subespaço de dimensão n do que n vetores.
  • No caso específico de matriz quadrada n\times n, isso dá imediatamente \operatorname{rank}(A)\le n.
  • Conclusão: a afirmação (d) é verdadeira.

Passo 7

Análise da afirmação (e): “Uma matriz n\times n que tem posto n é invertível.”
  • Definição de "posto n" para matriz A quadrada n\times n: todas as n colunas são linearmente independentes, então geram \mathbb{R}^n (ou o espaço coluna de dimensão n).
  • Consequência direta: o núcleo de A tem dimensão 0 (pela rank-nullity), logo a equação homogênea Ax=0 tem apenas a solução trivial x=0. Isso significa que a transformação linear associada a A é injetora.
  • Para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, injetividade implica bijetividade (e portanto existência de inversa linear). Assim A é invertível: existe A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I_n.
  • Outra equivalência prática: para matrizes quadradas, \operatorname{rank}(A)=n se e somente se \det(A)\neq 0; o determinante não nulo é outra maneira de dizer “invertível”.
  • Conclusão: a afirmação (e) é verdadeira.

Resposta

a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro

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