Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
a) O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.
b) A matriz nula
é a única matriz
que tem posto 0 .
c) Operações elementares linha preservam o posto.
d) O posto de uma matriz
é no maximo
.
e) Uma matriz
que tem posto
é invertivel.
a) O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.
b) A matriz nula
c) Operações elementares linha preservam o posto.
d) O posto de uma matriz
e) Uma matriz
Passo 1
O enunciado pede que se determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa:
a) O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.
b) A matriz nula é a única matriz
que tem posto
.
c) Operações elementares linha preservam o posto.
d) O posto de uma matriz é no máximo
.
e) Uma matriz que tem posto
é invertível.
a) O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.
b) A matriz nula
c) Operações elementares linha preservam o posto.
d) O posto de uma matriz
e) Uma matriz
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado que vamos usar:
- O “posto” denota a dimensão do espaço gerado pelas colunas (ou equivalentemente pelas linhas) de uma matriz; isto é,
. - As matrizes consideradas podem ter entradas em um corpo comum (por exemplo
ou ); as propriedades de posto e invertibilidade valem nesses contextos.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática, passo a passo): o que é o posto de uma matriz?
- Seja
uma matriz . A aplicação linear associada é , que leva vetores de (ou ) para . - O espaço coluna de
é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . O posto de , , é a dimensão desse espaço coluna — ou seja, o número máximo de colunas linearmente independentes de . - Importante distinguir: uma coluna “não nula” significa que ela não é o vetor zero; já “linearmente independente” é uma propriedade entre várias colunas. Duas colunas não nulas podem ser múltiplos entre si (logo dependentes).
- Teorema útil (rank-nullity, que vou usar sem demonstração longa): para
de tamanho ,
onde
é a dimensão do núcleo
.
Passo 3
Análise da afirmação (a): “O posto de uma matriz é igual ao número de colunas não nulas.”
- Interpretação: a afirmação diz que basta contar quantas colunas são diferentes do vetor zero para obter o posto.
- Contraexemplo simples que mostra que isso é falso: considere a matriz
Ambas as colunas são não nulas (há duas colunas não nulas), mas a segunda coluna é igual à primeira, logo as colunas são linearmente dependentes. O espaço coluna é gerado por apenas um vetor, então
- Conclusão: a afirmação (a) é falsa, porque posto conta colunas linearmente independentes, não apenas colunas diferente do zero.]
Passo 4
Análise da afirmação (b): “A matriz nula
é a única matriz
que tem posto
.”
- Lembrete:
significa que o espaço coluna tem dimensão . O único subespaço de dimensão é o conjunto que contém apenas o vetor zero. - Se
, então cada coluna de deve ser o vetor zero (porque todas as colunas pertencem ao espaço coluna, que só contém ). Assim é a matriz zero. - Recíproco: a matriz nula claramente tem espaço coluna
, então tem posto . - Portanto existe exatamente uma matriz
com posto : a matriz nula. Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação (c): “Operações elementares linha preservam o posto.”
- Explicação didática do que são operações elementares linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Cada uma dessas operações é reversível (tem operação inversa do mesmo tipo).
- Fato chave e argumento elegante: aplicar uma operação elementar linha à matriz
é o mesmo que multiplicar à esquerda por uma matriz elementar (onde é invertível). Ou seja, a transformação é com invertível. - Propriedade usada: se
é invertível, então o núcleo da transformação definida por e por é o mesmo. De fato, implica , e recíprocamente implica . Assim . - Pelo teorema da dimensão (rank-nullity), como
é preservada e (nº de colunas) é o mesmo, segue que . - Intuição: operações linha reorganizam e combinam linhas mas não criam nem destroem independência entre colunas de maneira que altere a dimensão do espaço gerado.
- Conclusão: a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação (d): “O posto de uma matriz
é no máximo
.”
- Observação geral válida para qualquer matriz
: o posto não pode exceder (o número de colunas) nem exceder (o número de linhas). Em fórmula:
- Justificativa simples: o posto é o número máximo de colunas linearmente independentes; não é possível ter mais vetores linearmente independentes num subespaço de dimensão
do que vetores. - No caso específico de matriz quadrada
, isso dá imediatamente . - Conclusão: a afirmação (d) é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmação (e): “Uma matriz
que tem posto
é invertível.”
- Definição de "posto
" para matriz quadrada : todas as colunas são linearmente independentes, então geram (ou o espaço coluna de dimensão ). - Consequência direta: o núcleo de
tem dimensão (pela rank-nullity), logo a equação homogênea tem apenas a solução trivial . Isso significa que a transformação linear associada a é injetora. - Para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, injetividade implica bijetividade (e portanto existência de inversa linear). Assim
é invertível: existe tal que . - Outra equivalência prática: para matrizes quadradas,
se e somente se ; o determinante não nulo é outra maneira de dizer “invertível”. - Conclusão: a afirmação (e) é verdadeira.
Resposta
a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro