Obter a inversa de cada uma das seguintes matrizes elementares.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (dados extraídos do enunciado):
  • Dá a matriz elementar
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Pede: obter a inversa de E, ou seja, encontrar uma matriz F tal que
E\,F=F\,E=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Entendendo o tipo de matriz que temos (ideia importante, explicada passo a passo).
  • Essa matriz E é uma matriz elementar obtida a partir da identidade aplicando uma operação elementar de linha. Concretamente, a entrada -2 na posição (3,1) indica que E representa a operação de substituir a linha 3 por linha 3 menos 2 vezes a linha 1 (isto é, R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1).
  • A operação inversa é justamente R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Portanto, a inversa de E deve ser a matriz elementar que realiza essa operação inversa — ou seja, a identidade com +2 na posição (3,1).
  • Assim, uma candidata natural para E^{-1} é
F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificação por multiplicação (passo a passo das entradas, para ter certeza).
  • Vamos multiplicar E por F e verificar que o resultado é I.
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Calcular E\,F linha a linha:
    • Primeira linha de E é (1,0,0). Multiplicando pelas colunas de F dá primeira linha de F: (1,0,0).
    • Segunda linha de E é (0,1,0). Multiplicando pelas colunas de F dá segunda linha de F: (0,1,0).
    • Terceira linha de E é (-2,0,1). Multiplicando pelas colunas de F:
      • entrada (3,1): -2\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot2 = -2 + 2 = 0.
      • entrada (3,2): -2\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0.
      • entrada (3,3): -2\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
    • Logo a terceira linha do produto é (0,0,1).
  • Portanto
E\,F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I.
  • Como E e F são quadradas e obtivemos E\,F=I, segue que F é a inversa de E (isto é, F=E^{-1}). Se quiser maior rigor, também se pode verificar F\,E=I da mesma forma; o cálculo é análogo e dá I.]

Passo 4

Outra visão (fórmula útil e curta, para lembrar na prova).
  • Escreve-se E como E=I+N, onde N é a matriz com só uma entrada -2 na posição (3,1). Observa-se que N^2=0 (porque a multiplicação desloca índices e essa matriz tem nilpotência 2).
  • Para qualquer matriz N com N^2=0 vale
(I+N)^{-1}=I-N.
  • Aplicando aqui, com N tendo -2 em (3,1), obtemos
E^{-1}=I-N=I -\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]-2&0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]2&0&1\end{pmatrix},
o mesmo resultado obtido antes.]

Passo 5

Resumo final e ânimo rápido:
  • A inversa é simples: basta trocar o sinal do número não-diagonal que corresponde à adição/subtração de múltiplas de uma linha. Isso funciona sempre para essas matrizes elementares do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”. Confia que você já entendeu e já pode usar na prova — vai dar certo!

Resposta

E^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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