Pede: obter a inversa de E, ou seja, encontrar uma matriz F tal que
E\,F=F\,E=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3.]
Passo 2
Entendendo o tipo de matriz que temos (ideia importante, explicada passo a passo).
Essa matriz E é uma matriz elementar obtida a partir da identidade aplicando uma operação elementar de linha. Concretamente, a entrada -2 na posição (3,1) indica que E representa a operação de substituir a linha 3 por linha 3 menos 2 vezes a linha 1 (isto é, R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1).
A operação inversa é justamente R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Portanto, a inversa de E deve ser a matriz elementar que realiza essa operação inversa — ou seja, a identidade com +2 na posição (3,1).
Como E e F são quadradas e obtivemos E\,F=I, segue que F é a inversa de E (isto é, F=E^{-1}). Se quiser maior rigor, também se pode verificar F\,E=I da mesma forma; o cálculo é análogo e dá I.]
Passo 4
Outra visão (fórmula útil e curta, para lembrar na prova).
Escreve-se E como E=I+N, onde N é a matriz com só uma entrada -2 na posição (3,1). Observa-se que N^2=0 (porque a multiplicação desloca índices e essa matriz tem nilpotência 2).
A inversa é simples: basta trocar o sinal do número não-diagonal que corresponde à adição/subtração de múltiplas de uma linha. Isso funciona sempre para essas matrizes elementares do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”. Confia que você já entendeu e já pode usar na prova — vai dar certo!