Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o posto e a nulidade da matriz dada. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes que já podemos listar sem calcular: a matriz é quadrada 3\times3, então o número de colunas n=3. A nulidade será o número de incógnitas livres na solução de A x=0 e vale, pelo teorema posto-nulidade, \text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n. Vamos calcular o posto (dimensão do espaço coluna ou do espaço linha) por eliminação de Gauss e então obter a nulidade.]

Passo 2

Explicando os conceitos de forma direta:
  • O posto de uma matriz A é a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas (ou equivalentemente pelas suas linhas). Na prática, ao fazer eliminação por linhas e levar a matriz a uma forma escalonada, o número de linhas não nulas (ou o número de pivôs) é o posto.
  • A nulidade de A é a dimensão do núcleo (espaço solução) da equação homogênea A x=0. Pelo teorema da dimensão (posto-nulidade) para uma matriz m\times n:
\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n.
Aqui n=3, então, depois de achar \text{posto}(A), a nulidade será 3-\text{posto}(A).

Passo 3

Vamos aplicar eliminação de Gauss com operações elementares por linha (essas operações não mudam a dimensão do espaço linha, logo não mudam o posto). Começamos escrevendo A novamente:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Observação útil: as linhas 1 e 3 são iguais. Isso já sugere que haverá dependência linear entre as linhas e que possivelmente o posto seja menor que 3. Vamos formalizar com operações.]

Passo 4

Eliminar a linha 3 usando a linha 1: R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Fazendo essa operação obtemos
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora a matriz está em forma escalonada: há duas linhas não nulas. Portanto já vemos que existem exatamente dois pivôs (um na coluna 1 da primeira linha e outro na coluna 2 da segunda linha). Isso implica que
\text{posto}(A)=2.]

Passo 5

Explicando por que o resultado anterior é correto: o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada obtida por operações elementares de linha) é a dimensão do espaço linha. Como o posto linha = posto coluna, o posto das colunas também é 2. Além disso, uma dependência linear explícita entre as colunas pode ser encontrada: chamadas as colunas por \,c_1,c_2,c_3 com
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},
verifica-se que
c_1 - c_2 + c_3 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
ou seja, há uma combinação linear não trivial entre as colunas; isso confirma que as três colunas não são independentes e que o posto não é 3.]

Passo 6

Agora a nulidade. Pelo teorema posto-nulidade com n=3\) colunas: \[\text{nulidade}(A)=3-\text{posto}(A)=3-2=1.
Podemos também apresentar explicitamente a solução de A x=0 para ver a nulidade na prática. Usando a forma escalonada obtida:
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix},
fazendo R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (operação opcional para esclarecer as equações) obtemos
\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Das equações correspondentes:
\begin{cases} x_1 - x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + x_3 = 0, \end{cases}
portanto tomando x_3=t\] (parâmetro livre), tem-se \(x_1=t e x_2=-t. Assim o núcleo é
\{t(1,-1,1)\mid t\in\mathbb{R}\},
o que mostra explicitamente que a nulidade é 1 e um base do núcleo é \{(1,-1,1)\}.]

Resposta

\text{posto}(A)=2
\text{nulidade}(A)=1

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