Informações relevantes que já podemos listar sem calcular: a matriz é quadrada 3\times3, então o número de colunas n=3. A nulidade será o número de incógnitas livres na solução de A x=0 e vale, pelo teorema posto-nulidade, \text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n. Vamos calcular o posto (dimensão do espaço coluna ou do espaço linha) por eliminação de Gauss e então obter a nulidade.]
Passo 2
Explicando os conceitos de forma direta:
O posto de uma matriz A é a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas (ou equivalentemente pelas suas linhas). Na prática, ao fazer eliminação por linhas e levar a matriz a uma forma escalonada, o número de linhas não nulas (ou o número de pivôs) é o posto.
A nulidade de A é a dimensão do núcleo (espaço solução) da equação homogênea A x=0. Pelo teorema da dimensão (posto-nulidade) para uma matriz m\times n:
\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n.
Aqui n=3, então, depois de achar \text{posto}(A), a nulidade será 3-\text{posto}(A).
Passo 3
Vamos aplicar eliminação de Gauss com operações elementares por linha (essas operações não mudam a dimensão do espaço linha, logo não mudam o posto). Começamos escrevendo A novamente:
Observação útil: as linhas 1 e 3 são iguais. Isso já sugere que haverá dependência linear entre as linhas e que possivelmente o posto seja menor que 3. Vamos formalizar com operações.]
Passo 4
Eliminar a linha 3 usando a linha 1: R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Fazendo essa operação obtemos
Agora a matriz está em forma escalonada: há duas linhas não nulas. Portanto já vemos que existem exatamente dois pivôs (um na coluna 1 da primeira linha e outro na coluna 2 da segunda linha). Isso implica que
\text{posto}(A)=2.]
Passo 5
Explicando por que o resultado anterior é correto: o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada obtida por operações elementares de linha) é a dimensão do espaço linha. Como o posto linha = posto coluna, o posto das colunas também é 2. Além disso, uma dependência linear explícita entre as colunas pode ser encontrada: chamadas as colunas por \,c_1,c_2,c_3 com