Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
Fx=6 a b z^3 y-20 b x^3 y^2, Fy=6 a b x z^3-10 b x^4 y, Fz=18 a b x z^2 y.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo de força com componentes
,
e
.
Estamos na matéria de cálculo vetorial, mais especificamente na parte de “forças conservativas e energia potencial”.
Para resolver, a gente vai:
  1. checar se o campo é conservativo usando ,
  2. se for, encontrar uma função tal que .

Passo 2

Vamos calcular o rotacional . Em componentes, por exemplo:
.
.
Como esses dois dão o mesmo, tá ok no componente .
Fazendo o mesmo para as outras duas combinações:
e
;
e
.
Tudo bate, logo . O campo é conservativo.

Passo 3

Pra achar a energia potencial partial Upartial x = -Fx = -6ab,y,z^3 +20b,x^3y^2 ;Longrightarrow; U(x,y,z) = integrall(-6ab,y,z^3 +20b,x^3y^2r),dx a gente usa = -6ab,x,y,z^3 +5b,x^4,y^2 + g(y,z) , ou seja
.
  1. Integra em :
  1. Agora impomos . Calculando

    que deve ser igual a .
    Daí e .
  2. Por fim .
    deve dar .
    Logo , isto é, é constante.

Resposta

O campo é conservativo e a energia potencial (até uma constante) é
boxedU(x,y,z) = -6,a,b,x,y,z^3 ;+;5,b,x^4,y^2,

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