Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um campo de força com componentes
,
e
.
Estamos na matéria de cálculo vetorial, mais especificamente na parte de “forças conservativas e energia potencial”.
Para resolver, a gente vai:
Estamos na matéria de cálculo vetorial, mais especificamente na parte de “forças conservativas e energia potencial”.
Para resolver, a gente vai:
- checar se o campo é conservativo usando
, - se for, encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Vamos calcular o rotacional
. Em componentes, por exemplo:
– .
– .
Como esses dois dão o mesmo, tá ok no componente .
Fazendo o mesmo para as outras duas combinações:
e
;
e
.
Tudo bate, logo . O campo é conservativo.
–
–
Como esses dois dão o mesmo, tá ok no componente
Fazendo o mesmo para as outras duas combinações:
Tudo bate, logo
Passo 3
Pra achar a energia potencial
a gente usa
, ou seja
.
- Integra em
:
- Agora impomos
. Calculando
que deve ser igual a.
Daíe . - Por fim
.
deve dar .
Logo, isto é, é constante.
Resposta
O campo é conservativo e a energia potencial (até uma constante) é