Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
F=x Fx(x)+y Fy(y)+z Fz(z).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um campo de força
vec F(x,y,z)=hat x,Fx(x)+hat y,Fy(y)+hat z,Fz(z)
A matéria envolvida é “forças conservativas e energia potencial”. Para saber se um campo é conservativo, a gente usa o cálculo vetorial (o “rotacional” ou curl). Se ele for conservativo, existe uma função tal que . Então primeiro vamos checar o curl de , e depois, se der zero, vamos integrar cada componente pra achar .

Passo 2

Calcular o curl (rotacional) de nablatimesvec F = hat x&hat y&hat z partial/partial x&partial/partial y&partial/partial z Fx(x)&Fy(y)&Fz(z) . Em coordenadas cartesianas:
Isso dá três componentes:
  1. Componente : .
    • Mas depende só de , então .
    • E depende só de , então .
      Resultado: 0.
  2. Componente : .
    • depende só de .
    • depende só de .
      Resultado: 0.
  3. Componente : .
    • depende só de .
    • depende só de .
      Resultado: 0.
Como todas as componentes do curl são zero, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, pra achar a energia potencial vec F=-nabla U Longrightarrow Fx(x)=-partial Upartial x,; Fy(y)=-partial Upartial y,; Fz(z)=-partial Upartial z a gente usa
U(x,y,z)=-integral Fx(x),dx ;-!integral Fy(y),dy ;-!integral Fz(z),dz + C,
Então é só integrar cada pedacinho:
onde é uma constante de integração (você pode escolher se quiser um referencial).

Passo 4

Resumindo:
  • O campo boxed% U(x,y,z) =-integral Fx(x),dx;-!integral Fy(y),dy;-!integral Fz(z),dz + C é conservativo porque .
  • A energia potencial associada é

Resposta

Todas as forças do tipo U(x,y,z) =-!integral Fx(x),dx;-!integral Fy(y),dy;-!integral Fz(z),dz + C são conservativas, e a energia potencial é

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