Diga quais das seguintes forças são conservativas:
Passo 1
O enunciado pede: “Diga quais das seguintes forças são conservativas.” As componentes fornecidas (em coordenadas esféricas, nas direções
) são:
(O campo está escrito como
.)
A pergunta é: esse campo é conservativo? Se sim, qual(is) parte(s) são conservativas; se não, por que não?
A pergunta é: esse campo é conservativo? Se sim, qual(is) parte(s) são conservativas; se não, por que não?
Passo 2
Estratégia e critério que vou usar (explicando didaticamente): em uma região simplesmente conexa, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, ele admite potencial escalar
tal que
. Uma forma prática de testar isso é calcular o rotacional (
). Se
em algum ponto do domínio, então não existe potencial global e o campo NÃO é conservativo. Vou usar o teste do rotacional porque é direto: basta calcular
e verificar se é nulo.
Observação técnica: como as componentes estão em coordenadas esféricas, é preciso usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (não as fórmulas cartesianas).
Passo 3
Vou escrever a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas para um campo
:
Explicando cada termo:
-
são as componentes do campo na base esférica; - as derivadas parciais são tomadas tratando
como variáveis independentes; - se qualquer uma das três componentes do rotacional for diferente de zero em algum ponto, o campo não é conservativo.
Agora vou aplicar essas fórmulas com
.
Passo 4
Cálculo da componente radial do rotacional
.
Primeiro calcule
:
Derivando em relação a
:
Agora calcule
:
Substituindo na fórmula:
Fatorando
:
Essa expressão é, em geral, diferente de zero (por exemplo, em
fica não nula). Portanto já temos evidência de que o rotacional não é identicamente zero.
Passo 5
Para ficar bem claro, calculo também a componente
do rotacional
.
Primeiro
:
Então
Agora
:
Logo
Novamente essa expressão é, em geral, diferente de zero (por exemplo, em
é não nula).
Como pelo menos uma componente do rotacional é diferente de zero em geral, temos
.
Passo 6
Interpretação final e alternativa curta (como fazer na prova se preferir tentar potencial): já que
em geral,
não é conservativo — não existe potencial escalar global
tal que
.
Observação prática (útil na prova): às vezes vale tentar integrar
para obter uma candidata a
e depois verificar consistência com as outras componentes; aqui, integrando
obtem-se
, e a verificação com
dá contradição, o que confirma que não existe
.
Força extra de ânimo: você fez bem em buscar um método direto — calcular o rotacional é quase sempre a forma mais segura em coordenadas curvilíneas se souber a fórmula.
Resposta
Nenhuma: o campo
não é conservativo, pois
(por exemplo,
em geral).