Diga quais das seguintes forças são conservativas:
F_{r}=-2 a r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi F_{\theta}=-a r \cos \theta \cos \varphi F_{\varphi}=\operatorname{arsen} \theta \operatorname{sen} \varphi

Passo 1

O enunciado pede: “Diga quais das seguintes forças são conservativas.” As componentes fornecidas (em coordenadas esféricas, nas direções \hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi) são:
F_{r}=-2a r\sin\theta\cos\varphi, \qquad F_{\theta}=-a r\cos\theta\cos\varphi, \qquad F_{\varphi}=a r\sin\theta\sin\varphi.
(O campo está escrito como \mathbf{F}=F_r\hat e_r+F_\theta\hat e_\theta+F_\varphi\hat e_\varphi.)
A pergunta é: esse campo é conservativo? Se sim, qual(is) parte(s) são conservativas; se não, por que não?

Passo 2

Estratégia e critério que vou usar (explicando didaticamente): em uma região simplesmente conexa, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, ele admite potencial escalar \Phi tal que \mathbf{F}=-\nabla\Phi. Uma forma prática de testar isso é calcular o rotacional ( \nabla\times\mathbf{F}). Se \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} em algum ponto do domínio, então não existe potencial global e o campo NÃO é conservativo. Vou usar o teste do rotacional porque é direto: basta calcular \nabla\times\mathbf{F} e verificar se é nulo.
Observação técnica: como as componentes estão em coordenadas esféricas, é preciso usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (não as fórmulas cartesianas).

Passo 3

Vou escrever a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas para um campo \mathbf{A}=A_r\hat e_r+A_\theta\hat e_\theta+A_\varphi\hat e_\varphi:
(\nabla\times\mathbf{A})_r=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,A_\varphi\big)-\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\right],
(\nabla\times\mathbf{A})_\theta=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}\big(r A_\varphi\big)\right],
(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\big(r A_\theta\big)-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right].
Explicando cada termo:
  • A_r,A_\theta,A_\varphi são as componentes do campo na base esférica;
  • as derivadas parciais são tomadas tratando r,\theta,\varphi como variáveis independentes;
  • se qualquer uma das três componentes do rotacional for diferente de zero em algum ponto, o campo não é conservativo.
Agora vou aplicar essas fórmulas com A_r=F_r,\;A_\theta=F_\theta,\;A_\varphi=F_\varphi.

Passo 4

Cálculo da componente radial do rotacional (\nabla\times\mathbf{F})_r.
Primeiro calcule \sin\theta\,F_\varphi:
\sin\theta\,F_\varphi=\sin\theta\cdot\big(a r\sin\theta\sin\varphi\big)=a r\sin^2\theta\sin\varphi.
Derivando em relação a \theta:
\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,F_\varphi\big) = \frac{\partial}{\partial\theta}\big(a r\sin^2\theta\sin\varphi\big) = a r\cdot 2\sin\theta\cos\theta\sin\varphi.
Agora calcule \displaystyle\frac{\partial F_\theta}{\partial\varphi}:
\frac{\partial F_\theta}{\partial\varphi} =\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(-a r\cos\theta\cos\varphi\big) = -a r\cos\theta\cdot(-\sin\varphi) = a r\cos\theta\sin\varphi.
Substituindo na fórmula:
(\nabla\times\mathbf{F})_r =\frac{1}{r\sin\theta}\Big[2a r\sin\theta\cos\theta\sin\varphi - a r\cos\theta\sin\varphi\Big].
Fatorando a r\cos\theta\sin\varphi:
(\nabla\times\mathbf{F})_r =\frac{a r\cos\theta\sin\varphi}{r\sin\theta}\big(2\sin\theta-1\big) = a\cos\theta\sin\varphi\cdot\frac{2\sin\theta-1}{\sin\theta}.
Essa expressão é, em geral, diferente de zero (por exemplo, em \theta=\pi/4,\\ \varphi=\pi/2 fica não nula). Portanto já temos evidência de que o rotacional não é identicamente zero.

Passo 5

Para ficar bem claro, calculo também a componente \theta do rotacional (\nabla\times\mathbf{F})_\theta.
Primeiro \displaystyle\frac{\partial F_r}{\partial\varphi}:
\frac{\partial F_r}{\partial\varphi} =\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(-2a r\sin\theta\cos\varphi\big) = -2a r\sin\theta\cdot(-\sin\varphi) = 2a r\sin\theta\sin\varphi.
Então \displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial F_r}{\partial\varphi}=2a r\sin\varphi.
Agora \displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\big(r F_\varphi\big):
r F_\varphi = r\cdot (a r\sin\theta\sin\varphi)=a r^2\sin\theta\sin\varphi,
\frac{\partial}{\partial r}\big(r F_\varphi\big)=2a r\sin\theta\sin\varphi.
Logo
(\nabla\times\mathbf{F})_\theta =\frac{1}{r}\Big[2a r\sin\varphi - 2a r\sin\theta\sin\varphi\Big] =2a\sin\varphi\,(1-\sin\theta).
Novamente essa expressão é, em geral, diferente de zero (por exemplo, em \theta=\pi/6,\\ \varphi=\pi/2 é não nula).
Como pelo menos uma componente do rotacional é diferente de zero em geral, temos \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0}.

Passo 6

Interpretação final e alternativa curta (como fazer na prova se preferir tentar potencial): já que \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} em geral, \mathbf{F} não é conservativo — não existe potencial escalar global \Phi tal que \mathbf{F}=-\nabla\Phi.
Observação prática (útil na prova): às vezes vale tentar integrar F_r=-\partial\Phi/\partial r para obter uma candidata a \Phi e depois verificar consistência com as outras componentes; aqui, integrando F_r obtem-se \Phi=a r^2\sin\theta\cos\varphi + C(\theta,\varphi), e a verificação com F_\varphi dá contradição, o que confirma que não existe \Phi.
Força extra de ânimo: você fez bem em buscar um método direto — calcular o rotacional é quase sempre a forma mais segura em coordenadas curvilíneas se souber a fórmula.

Resposta

Nenhuma: o campo \mathbf{F} não é conservativo, pois \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} (por exemplo, (\nabla\times\mathbf{F})_r=a\cos\theta\sin\varphi\frac{2\sin\theta-1}{\sin\theta}\neq0 em geral).

Exercícios relacionados