Escreva os vetores momento angular e torque de uma partícula em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • Pede: escrever o vetor momento angular \mathbf{L} e o vetor torque (momento de força) \boldsymbol{\tau} de uma partícula em coordenadas cilíndricas.
  • Notação e variáveis que usarei (todas dependem do tempo, em geral):
    • r = coordenada radial,
    • \varphi = coordenada angular azimutal,
    • z = coordenada axial,
    • m = massa da partícula,
    • \mathbf{F} = força aplicada, com componentes F_{r},F_{\varphi},F_{z} nas direções locais,
    • unidades vetoriais locais: \hat{\mathbf e}_r,\hat{\mathbf e}_\varphi,\hat{\mathbf e}_z.
  • Fórmulas fundamentais que valerão aqui (não vou usar nada além de produto vetorial e derivadas temporais):
    • momento angular: \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} com \mathbf{p}=m\mathbf{v},
    • torque: \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  • Observação: em coordenadas cilíndricas a base \hat{\mathbf e}_r,\hat{\mathbf e}_\varphi depende de \varphi(t); então ao derivar vetores vamos usar \frac{d}{dt}\hat{\mathbf e}_r=\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi,\qquad \frac{d}{dt}\hat{\mathbf e}_\varphi=-\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_r,\qquad \frac{d}{dt}\hat{\mathbf e}_z=\mathbf{0}.

Passo 2

Escrever o vetor posição em cilíndricas e obter a velocidade (passo necessário para \mathbf{p}=m\mathbf{v}).
  • O vetor posição em cilindricas é
\mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf e}_r+z\,\hat{\mathbf e}_z.
  • Para obter a velocidade, derivamos \mathbf{r} no tempo lembrando que \hat{\mathbf e}_r depende de \varphi:
\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot r\,\hat{\mathbf e}_r + r\,\frac{d\hat{\mathbf e}_r}{dt}+\dot z\,\hat{\mathbf e}_z.
  • Usando \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf e}_r=\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi obtemos a forma clássica
\mathbf{v}=\dot r\,\hat{\mathbf e}_r + r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi + \dot z\,\hat{\mathbf e}_z.
  • Portanto o momento linear é
\mathbf{p}=m\mathbf{v}=m\big(\dot r\,\hat{\mathbf e}_r + r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi + \dot z\,\hat{\mathbf e}_z\big).

Passo 3

Lembrar as regras de produto vetorial entre as bases cilíndricas (útil para calcular \mathbf{r}\times\mathbf{p}).
  • As relações cíclicas são
\hat{\mathbf e}_r\times\hat{\mathbf e}_\varphi=\hat{\mathbf e}_z,\quad \hat{\mathbf e}_\varphi\times\hat{\mathbf e}_z=\hat{\mathbf e}_r,\quad \hat{\mathbf e}_z\times\hat{\mathbf e}_r=\hat{\mathbf e}_\varphi.
  • E as trocas de ordem introduzem sinal negativo (p.ex. \hat{\mathbf e}_r\times\hat{\mathbf e}_z=-\hat{\mathbf e}_\varphi).

Passo 4

Calcular \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} termo a termo (mostrando os produtos vetoriais).
Escrevemos os dois vetores para visualizar:
\mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf e}_r+z\,\hat{\mathbf e}_z, \qquad \mathbf{p}=m\big(\dot r\,\hat{\mathbf e}_r + r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi + \dot z\,\hat{\mathbf e}_z\big).
Agora fazemos o produto vetorial somando os produtos entre cada par:
  1. r\,\hat{\mathbf e}_r\times m\dot r\,\hat{\mathbf e}_r=0 (mesma direção).
  2. r\,\hat{\mathbf e}_r\times m r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi = m r^2\dot\varphi\,(\hat{\mathbf e}_r\times\hat{\mathbf e}_\varphi) = m r^2\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_z.
  3. r\,\hat{\mathbf e}_r\times m\dot z\,\hat{\mathbf e}_z = m r\dot z\,(\hat{\mathbf e}_r\times\hat{\mathbf e}_z) = -m r\dot z\,\hat{\mathbf e}_\varphi.
  4. z\,\hat{\mathbf e}_z\times m\dot r\,\hat{\mathbf e}_r = m z\dot r\,(\hat{\mathbf e}_z\times\hat{\mathbf e}_r) = m z\dot r\,\hat{\mathbf e}_\varphi.
  5. z\,\hat{\mathbf e}_z\times m r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi = m z r\dot\varphi\,(\hat{\mathbf e}_z\times\hat{\mathbf e}_\varphi) = -m z r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_r.
  6. z\,\hat{\mathbf e}_z\times m\dot z\,\hat{\mathbf e}_z=0.
Somando as contribuições nas três direções obtemos:
  • componente \hat{\mathbf e}_r:
L_r = -m z r\dot\varphi.
  • componente \hat{\mathbf e}_\varphi:
L_\varphi = m\big(z\dot r - r\dot z\big).
  • componente \hat{\mathbf e}_z:
L_z = m r^2\dot\varphi.
Portanto, em forma vetorial:
\mathbf{L} = -m r z\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_r + m\big(z\dot r - r\dot z\big)\,\hat{\mathbf e}_\varphi + m r^2\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_z.

Passo 5

Interpretação física e casos particulares (mini-aula rápida para fixar).
  • O componente axial \,L_z=m r^2\dot\varphi\, é o momento angular em torno do eixo z: aparece sempre que há rotação em \varphi. Em problemas planos (quando z=\dot z=0) a expressão se reduz a \mathbf{L}=m r^2\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_z, fórmula usual que você encontra em problemas de movimento em plano.
  • Os componentes L_r e L_\varphi aparecem quando a partícula tem posição fora do plano z=0 ou movimento axial \dot z. Eles representam a contribuição tridimensional do momento angular.

Passo 6

Calcular o torque \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F} em componentes cilíndricas (mais direto porque \mathbf{F} não traz derivadas de base).
Escrevendo \mathbf{F}=F_r\,\hat{\mathbf e}_r+F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi+F_z\,\hat{\mathbf e}_z e \mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf e}_r+z\,\hat{\mathbf e}_z, fazemos os produtos:
  1. r\,\hat{\mathbf e}_r\times F_r\,\hat{\mathbf e}_r=0.
  2. r\,\hat{\mathbf e}_r\times F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi = r F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_z.
  3. r\,\hat{\mathbf e}_r\times F_z\,\hat{\mathbf e}_z = - r F_z\,\hat{\mathbf e}_\varphi.
  4. z\,\hat{\mathbf e}_z\times F_r\,\hat{\mathbf e}_r = z F_r\,\hat{\mathbf e}_\varphi.
  5. z\,\hat{\mathbf e}_z\times F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi = - z F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_r.
  6. z\,\hat{\mathbf e}_z\times F_z\,\hat{\mathbf e}_z=0.
Somando, obtemos os componentes:
  • componente \hat{\mathbf e}_r:
\tau_r = - z F_\varphi.
  • componente \hat{\mathbf e}_\varphi:
\tau_\varphi = z F_r - r F_z.
  • componente \hat{\mathbf e}_z:
\tau_z = r F_\varphi.
Portanto, em forma vetorial:
\boldsymbol{\tau} = -z F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_r + \big(z F_r - r F_z\big)\,\hat{\mathbf e}_\varphi + r F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_z.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e dica prática para prova.
  • Consistência: se z=0 (movimento no plano z=0), a expressão para \mathbf{L} reduz a \mathbf{L}=m r^2\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_z (apenas componente axial), e a expressão do torque dá \boldsymbol{\tau}= -0\cdot F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_r + (0\cdot F_r - r F_z)\hat{\mathbf e}_\varphi + r F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_z; em muitos problemas planos só \tau_z=rF_\varphi importa (torque em torno do eixo).
  • Dica de prova: memorize a fórmula da velocidade cilíndrica \mathbf{v}=\dot r\,\hat{\mathbf e}_r + r\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_\varphi + \dot z\,\hat{\mathbf e}_z e pratique o produto vetorial termo a termo; isso evita erros com sinais nas bases.

Resposta

\mathbf{L} = -m r z\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_r + m\big(z\dot r - r\dot z\big)\,\hat{\mathbf e}_\varphi + m r^2\dot\varphi\,\hat{\mathbf e}_z
\boldsymbol{\tau} = -z F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_r + \big(z F_r - r F_z\big)\,\hat{\mathbf e}_\varphi + r F_\varphi\,\hat{\mathbf e}_z

Exercícios relacionados