Escreva os vetores momento angular e torque de uma partícula em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.
- Pede: escrever o vetor momento angular
e o vetor torque (momento de força) de uma partícula em coordenadas cilíndricas. - Notação e variáveis que usarei (todas dependem do tempo, em geral):
-
= coordenada radial, -
= coordenada angular azimutal, -
= coordenada axial, -
= massa da partícula, -
= força aplicada, com componentes nas direções locais, - unidades vetoriais locais:
.
-
- Fórmulas fundamentais que valerão aqui (não vou usar nada além de produto vetorial e derivadas temporais):
- momento angular:
com , - torque:
.
- momento angular:
- Observação: em coordenadas cilíndricas a base
depende de ; então ao derivar vetores vamos usar
Passo 2
Escrever o vetor posição em cilíndricas e obter a velocidade (passo necessário para
).
- O vetor posição em cilindricas é
- Para obter a velocidade, derivamos
no tempo lembrando que depende de :
- Usando
obtemos a forma clássica
- Portanto o momento linear é
Passo 3
Lembrar as regras de produto vetorial entre as bases cilíndricas (útil para calcular
).
- As relações cíclicas são
- E as trocas de ordem introduzem sinal negativo (p.ex.
).
Passo 4
Calcular
termo a termo (mostrando os produtos vetoriais).
Escrevemos os dois vetores para visualizar:
Agora fazemos o produto vetorial somando os produtos entre cada par:
-
(mesma direção). -
-
-
-
-
Somando as contribuições nas três direções obtemos:
- componente
:
- componente
:
- componente
:
Portanto, em forma vetorial:
Passo 5
Interpretação física e casos particulares (mini-aula rápida para fixar).
- O componente axial
é o momento angular em torno do eixo : aparece sempre que há rotação em . Em problemas planos (quando ) a expressão se reduz a , fórmula usual que você encontra em problemas de movimento em plano. - Os componentes
e aparecem quando a partícula tem posição fora do plano ou movimento axial . Eles representam a contribuição tridimensional do momento angular.
Passo 6
Calcular o torque
em componentes cilíndricas (mais direto porque
não traz derivadas de base).
Escrevendo
e
, fazemos os produtos:
Somando, obtemos os componentes:
- componente
:
- componente
:
- componente
:
Portanto, em forma vetorial:
Passo 7
Verificação rápida de consistência e dica prática para prova.
- Consistência: se
(movimento no plano ), a expressão para reduz a (apenas componente axial), e a expressão do torque dá ; em muitos problemas planos só importa (torque em torno do eixo). - Dica de prova: memorize a fórmula da velocidade cilíndrica
e pratique o produto vetorial termo a termo; isso evita erros com sinais nas bases.