Considerando a função vetorial
, escreva o
no sistema de coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial em coordenadas cilíndricas
e pede para escrever o divergente
no sistema de coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes escalares são
, funções de . - Os versores usuais em cilíndricas são
, e , com igual ao versor cartesiano. - A pergunta é: qual a expressão de
em termos de e das componentes ?
Passo 2
Primeiro vou relacionar coordenadas e versores cilíndricos com as cartesianas — isso nos permite usar a definição
e converter para
.
Relações entre coordenadas:
Versores cilíndricos em função dos versores cartesianos
:
Componentes cartesianas de
(projeção sobre
):
Passo 3
Agora preciso escrever os operadores
e
em termos de
e
. Uso a regra da cadeia para funções de
:
Como
e
, aplica-se a cadeia e obtém-se as identidades padrão
Essas fórmulas vêm diretamente de
e análogas para
; aqui
,
, etc.
Passo 4
Calculo
usando as expressões para
e para
. Para ficar organizado, aplico os operadores às combinações trigonométricas e uso que
e
não dependem de
nem de
, apenas de
.
Começo aplicando as partes com
:
Agora as partes com
. Vou escrever a soma diretamente, expandindo produtos e usando
,
:
Agora agrupo termos semelhantes. Os termos com
se cancelam; os termos com
também se cancelam em pares com sinais opostos. Restam os termos
Somando
obtemos
Portanto, juntando a parte
e essa parte em
, temos
Passo 5
Agora adiciono a contribuição
(que é a mesma em cartesianas e cilíndricas, pois
é comum aos dois sistemas). Assim
É prático escrever essa expressão numa forma condensada:
Pequena checagem rápida (exemplo para fixar): se
com
constante e
, então
o que faz sentido para esse campo radial (confirmação rápida).