Considerando a função vetorial \vec{A}(\rho, \varphi, z)=A_{\rho} \hat{\rho}_{0}+A_{\varphi} \hat{\varphi}_{0}+A_{z} \hat{k}, escreva o (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) no sistema de coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial em coordenadas cilíndricas
\vec{A}(\rho,\varphi,z)=A_{\rho}(\rho,\varphi,z)\,\hat{\rho}_{0}+A_{\varphi}(\rho,\varphi,z)\,\hat{\varphi}_{0}+A_{z}(\rho,\varphi,z)\,\hat{k},
e pede para escrever o divergente (\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) no sistema de coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes escalares são A_{\rho},A_{\varphi},A_{z}, funções de (\rho,\varphi,z).
  • Os versores usuais em cilíndricas são \hat{\rho}, \hat{\varphi} e \hat{k}, com \hat{k} igual ao versor z cartesiano.
  • A pergunta é: qual a expressão de \vec{\nabla}\cdot\vec{A} em termos de \rho,\varphi,z e das componentes A_{\rho},A_{\varphi},A_{z}?

Passo 2

Primeiro vou relacionar coordenadas e versores cilíndricos com as cartesianas — isso nos permite usar a definição \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z e converter para (\rho,\varphi,z).
Relações entre coordenadas:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Versores cilíndricos em função dos versores cartesianos \hat{i},\hat{j},\hat{k}:
\hat{\rho}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j},\qquad \hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j},\qquad \hat{k}=\hat{z}.
Componentes cartesianas de \vec{A} (projeção sobre \hat{i},\hat{j},\hat{k}):
A_x = A_{\rho}\cos\varphi - A_{\varphi}\sin\varphi, \qquad A_y = A_{\rho}\sin\varphi + A_{\varphi}\cos\varphi, \qquad A_z = A_{z}.

Passo 3

Agora preciso escrever os operadores \partial_x e \partial_y em termos de \partial_{\rho} e \partial_{\varphi}. Uso a regra da cadeia para funções de (\rho,\varphi,z):
Como \rho=\sqrt{x^2+y^2} e \varphi=\arctan(y/x), aplica-se a cadeia e obtém-se as identidades padrão
\frac{\partial}{\partial x} = \cos\varphi\,\frac{\partial}{\partial \rho} - \frac{\sin\varphi}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \varphi}, \qquad \frac{\partial}{\partial y} = \sin\varphi\,\frac{\partial}{\partial \rho} + \frac{\cos\varphi}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \varphi}.
Essas fórmulas vêm diretamente de \partial_x = (\partial\rho/\partial x)\partial_\rho + (\partial\varphi/\partial x)\partial_\varphi e análogas para \partial_y; aqui \partial\rho/\partial x=\cos\varphi, \partial\varphi/\partial x=-\sin\varphi/\rho, etc.

Passo 4

Calculo \partial_x A_x + \partial_y A_y usando as expressões para A_x,A_y e para \partial_x,\partial_y. Para ficar organizado, aplico os operadores às combinações trigonométricas e uso que \cos\varphi e \sin\varphi não dependem de \rho nem de z, apenas de \varphi.
Começo aplicando as partes com \partial_{\rho}:
\begin{aligned} &\cos\varphi\,\partial_{\rho}(A_{\rho}\cos\varphi - A_{\varphi}\sin\varphi) +\sin\varphi\,\partial_{\rho}(A_{\rho}\sin\varphi + A_{\varphi}\cos\varphi) \\\ &\quad= \cos^2\varphi\,\partial_{\rho}A_{\rho} - \cos\varphi\sin\varphi\,\partial_{\rho}A_{\varphi} +\sin^2\varphi\,\partial_{\rho}A_{\rho} + \sin\varphi\cos\varphi\,\partial_{\rho}A_{\varphi} \\\ &\quad= (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\,\partial_{\rho}A_{\rho} = \partial_{\rho}A_{\rho}. \end{aligned}
Agora as partes com \partial_{\varphi}. Vou escrever a soma diretamente, expandindo produtos e usando \partial_{\varphi}(\cos\varphi)=-\sin\varphi, \partial_{\varphi}(\sin\varphi)=\cos\varphi:
\begin{aligned} &-\frac{\sin\varphi}{\rho}\,\partial_{\varphi}(A_{\rho}\cos\varphi - A_{\varphi}\sin\varphi) +\frac{\cos\varphi}{\rho}\,\partial_{\varphi}(A_{\rho}\sin\varphi + A_{\varphi}\cos\varphi) \\\ &\quad= -\frac{\sin\varphi}{\rho}\big((\partial_{\varphi}A_{\rho})\cos\varphi - A_{\rho}\sin\varphi -(\partial_{\varphi}A_{\varphi})\sin\varphi - A_{\varphi}\cos\varphi\big) \\\ &\qquad+\frac{\cos\varphi}{\rho}\big((\partial_{\varphi}A_{\rho})\sin\varphi + A_{\rho}\cos\varphi +(\partial_{\varphi}A_{\varphi})\cos\varphi - A_{\varphi}\sin\varphi\big). \end{aligned}
Agora agrupo termos semelhantes. Os termos com (\partial_{\varphi}A_{\rho}) se cancelam; os termos com A_{\varphi} também se cancelam em pares com sinais opostos. Restam os termos
\frac{\sin^2\varphi}{\rho}A_{\rho}+\frac{\cos^2\varphi}{\rho}A_{\rho} +\frac{\sin^2\varphi}{\rho}\partial_{\varphi}A_{\varphi}+\frac{\cos^2\varphi}{\rho}\partial_{\varphi}A_{\varphi}.
Somando \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1 obtemos
\frac{A_{\rho}}{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\partial_{\varphi}A_{\varphi}.
Portanto, juntando a parte \partial_{\rho}A_{\rho} e essa parte em \varphi, temos
\partial_x A_x + \partial_y A_y = \partial_{\rho}A_{\rho} + \frac{A_{\rho}}{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\partial_{\varphi}A_{\varphi}.

Passo 5

Agora adiciono a contribuição \partial_z A_z (que é a mesma em cartesianas e cilíndricas, pois z é comum aos dois sistemas). Assim
\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \partial_{\rho}A_{\rho} + \frac{A_{\rho}}{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\partial_{\varphi}A_{\varphi} + \partial_{z}A_{z}.
É prático escrever essa expressão numa forma condensada:
\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho\,A_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Pequena checagem rápida (exemplo para fixar): se A_{\rho}=C\rho com C constante e A_{\varphi}=A_{z}=0, então
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\cdot C\rho) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(C\rho^2) =\frac{1}{\rho}\cdot 2C\rho=2C,
o que faz sentido para esse campo radial (confirmação rápida).

Resposta

\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho\,A_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}.

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