Diga se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão (d’Alembert) para verificar.
Passo 2
Definimos o termo geral da série como
Para aplicar o teste da razão, consideramos a razão entre termos consecutivos
.
Passo 3
Calculamos
Agora tomamos o limite quando
:
Passo 4
Como o limite da razão é
, que é estritamente menor que
, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.
Passo 5
Além disso, sabe-se que
logo
mas o principal aqui é que a série converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).