Diga se as seguintes séries convergem ou divergem.
\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão (d’Alembert) para verificar.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_n = \frac{1}{n!}.
Para aplicar o teste da razão, consideramos a razão entre termos consecutivos \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0.

Passo 4

Como o limite da razão é 0, que é estritamente menor que 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 5

Além disso, sabe-se que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e,
logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} =e-1,
mas o principal aqui é que a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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