Diga se as seguintes séries convergem ou divergem.
0,001+\sqrt{0,001}+\sqrt[3]{0,001}+\cdots+\sqrt[n]{0,001}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{0,001}
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o estudo de séries numéricas e, em particular, o teste do termo geral: se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_{n} = \sqrt[n]{0,001}.
Para simplificar, note que 0,001 = 10^{-3}, logo
a_{n} = (10^{-3})^{\tfrac{1}{n}} = 10^{-\tfrac{3}{n}}.

Passo 3

Calculamos o limite de a_{n} quando n\to\infty. Como \tfrac{3}{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} 10^{-\tfrac{3}{n}} = 10^{0} = 1.

Passo 4

Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, a série \sum a_{n} diverge imediatamente, pois um requisito necessário para convergência é a_{n}\to0.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados