Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para dizer se ela é convergente ou divergente.
Informações relevantes: a sequência é definida para por potências de
.
Informações relevantes: a sequência é definida para
Passo 2
Lembrete (definição): dizer que uma sequência
converge para um número real
significa que
Se não existe tal
finito, dizemos que a sequência diverge. Também podemos dizer que diverge para
se, para todo
, existe
tal que
para todo
, análogo para
.
Passo 3
Observação simples sobre a magnitude (valor absoluto) dos termos:
Isto mostra que os termos crescem em módulo como
, uma potência de base maior que
.
Passo 4
Provar que
quando
. Seja qualquer
. Como a função logaritmo existe, escolha
Para esse
temos
. Então, para todo
,
Isso mostra formalmente que
. Portanto
.
Passo 5
Consequência: se
, a sequência
não pode convergir para um número real finito
, porque convergência finita implicaria que
ficaria próxima de
para
grandes (contra o fato de
ficar arbitrariamente grande). Logo,
não converge em
.
Passo 6
Para tornar a ideia ainda mais clara, olhemos as subsequências par e ímpar:
Daí
e
quando
. Como duas subsequências têm limites (estendidos) distintos, não existe limite finito comum — reforçando que a sequência diverge. Além disso, ela não diverge para
nem para
de forma simples, porque alguns termos vão para
(pares) e outros para
(ímpares).
Passo 7
Conclusão final: a sequência
diverge — não tem limite finito, e os seus termos crescem em módulo enquanto alternam de sinal, com subsequências que vão para
e para
.
Resposta
A sequência
diverge.