Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
a_{n}=(-2)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;a_{n}=(-2)^{n}\; e pede para dizer se ela é convergente ou divergente.
Informações relevantes: a sequência é definida para n=1,2,3,\dots por potências de -2.

Passo 2

Lembrete (definição): dizer que uma sequência \;a_n\; converge para um número real L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\text{ tal que para todo }n\ge N\text{ vale }|a_n-L|<\varepsilon.
Se não existe tal L finito, dizemos que a sequência diverge. Também podemos dizer que diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que a_n>M para todo n\ge N, análogo para -\infty.

Passo 3

Observação simples sobre a magnitude (valor absoluto) dos termos:
|a_n| = |(-2)^n| = 2^n.
Isto mostra que os termos crescem em módulo como 2^n, uma potência de base maior que 1.

Passo 4

Provar que \;2^n\to +\infty\; quando n\to\infty. Seja qualquer M>0. Como a função logaritmo existe, escolha
N = \left\lceil \log_2(M) \right\rceil + 1.
Para esse N temos 2^N > 2^{\log_2(M)} = M. Então, para todo n\ge N,
2^n \ge 2^N > M.
Isso mostra formalmente que \;2^n\to +\infty\;. Portanto |a_n|\to +\infty.

Passo 5

Consequência: se |a_n|\to +\infty, a sequência (a_n) não pode convergir para um número real finito L, porque convergência finita implicaria que |a_n| ficaria próxima de |L| para n grandes (contra o fato de |a_n| ficar arbitrariamente grande). Logo, (a_n) não converge em \mathbb{R}.

Passo 6

Para tornar a ideia ainda mais clara, olhemos as subsequências par e ímpar:
a_{2k}=(-2)^{2k}=4^{k}\quad\text{e}\quad a_{2k+1}=(-2)^{2k+1}=-2\cdot4^{k}.
Daí a_{2k}\to +\infty e a_{2k+1}\to -\infty quando k\to\infty. Como duas subsequências têm limites (estendidos) distintos, não existe limite finito comum — reforçando que a sequência diverge. Além disso, ela não diverge para +\infty nem para -\infty de forma simples, porque alguns termos vão para +\infty (pares) e outros para -\infty (ímpares).

Passo 7

Conclusão final: a sequência \;a_n=(-2)^n\; diverge — não tem limite finito, e os seus termos crescem em módulo enquanto alternam de sinal, com subsequências que vão para +\infty e para -\infty.

Resposta

A sequência \;a_n=(-2)^n\; diverge.

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