Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
a_{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n} para n inteiro positivo e pede para dizer se a sequência é convergente ou divergente, com demonstração. Informação relevante fornecida:
  • A fórmula do termo geral é a_{n}=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{n}.
  • Devemos decidir convergência (existência de limite finito) quando n\to\infty e justificar rigorosamente.

Passo 2

Identificar o tipo de sequência: trata-se de uma sequência geométrica. Vou recordar o que é isso de um jeito simples e útil para a prova.
  • Uma sequência geométrica tem a forma a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1} (ou equivalentemente a_n=r^n se ajustarmos a indexação), onde r é a razão comum.
  • Na nossa sequência a razão é r=\dfrac{-1}{2}. Ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por r=\dfrac{-1}{2}.

Passo 3

Fato importante (teorema usado): Se |r|<1, então a sequência geométrica r^{n} converge para 0 quando n\to\infty.
Vou provar esse fato de forma elementar, porque entender essa prova ajuda muito na hora da prova — é curta e direta.
Prova do fato para 0<q<1: considere a sequência q^{n} com 0<q<1.
  • Observação 1: q^{n+1}=q\cdot q^{n}<q^{n}, então a sequência \{q^{n}\} é estritamente decrescente.
  • Observação 2: Para todo n, q^{n}>0. Logo a sequência é limitada inferiormente por 0.
    Pelo teorema do ponto fixo para sequências monótonas e limitadas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge; portanto existe L=\lim_{n\to\infty}q^{n} com L\ge 0.
    Agora passe ao limite na relação q^{n+1}=q\cdot q^{n}. No limite obtemos
L = q\cdot L.
Como 0<q<1, isso implica (1-q)L=0 e portanto L=0. Assim \lim_{n\to\infty}q^{n}=0.

Passo 4

Aplicar o fato ao nosso caso: aqui |r|=\left|\dfrac{-1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}. Observa-se que 0<\dfrac{1}{2}<1. Portanto, pela prova anterior,
\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0.
Logo a sequência dos módulos \left|a_{n}\right|=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge para 0.

Passo 5

Concluir sobre a_{n}: se \left|a_{n}\right|\to 0, então a_{n}\to 0 — isso é quase a definição de limite: \left|a_{n}-0\right|=\left|a_{n}\right|\to 0 implica que a_{n} converge para 0.
Uma demonstração \varepsilon- \delta rápida (útil para a prova): dado \varepsilon>0, como \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\to 0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_{n}-0\right|=\left|\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{n}\right|=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}<\varepsilon.
Isso satisfaz a definição de \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 6

Interpretação intuitiva e check rápido dos primeiros termos (ajuda a memorizar o comportamento): os termos alternam de sinal porque a razão é negativa:
a_{1}=-\dfrac{1}{2},\qquad a_{2}=+\dfrac{1}{4},\qquad a_{3}=-\dfrac{1}{8},\qquad a_{4}=+\dfrac{1}{16},\\ \dots
aos poucos os valores ficam cada vez mais próximos de 0 em módulo, apesar de alternarem de sinal. Assim a sequência se aproxima de 0.

Resposta

Convergente, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0

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