Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação. a_{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado dá a sequência a_{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n} para n inteiro positivo e pede para dizer se a sequência é convergente ou divergente, com demonstração. Informação relevante fornecida:
A fórmula do termo geral é a_{n}=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{n}.
Devemos decidir convergência (existência de limite finito) quando n\to\infty e justificar rigorosamente.
Passo 2
Identificar o tipo de sequência: trata-se de uma sequência geométrica. Vou recordar o que é isso de um jeito simples e útil para a prova.
Uma sequência geométrica tem a forma a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1} (ou equivalentemente a_n=r^n se ajustarmos a indexação), onde r é a razão comum.
Na nossa sequência a razão é r=\dfrac{-1}{2}. Ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por r=\dfrac{-1}{2}.
Passo 3
Fato importante (teorema usado): Se |r|<1, então a sequência geométrica r^{n} converge para 0 quando n\to\infty.
Vou provar esse fato de forma elementar, porque entender essa prova ajuda muito na hora da prova — é curta e direta.
Prova do fato para 0<q<1: considere a sequência q^{n} com 0<q<1.
Observação 1: q^{n+1}=q\cdot q^{n}<q^{n}, então a sequência \{q^{n}\} é estritamente decrescente.
Observação 2: Para todo n, q^{n}>0. Logo a sequência é limitada inferiormente por 0.
Pelo teorema do ponto fixo para sequências monótonas e limitadas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge; portanto existe L=\lim_{n\to\infty}q^{n} com L\ge 0.
Agora passe ao limite na relação q^{n+1}=q\cdot q^{n}. No limite obtemos
L = q\cdot L.
Como 0<q<1, isso implica (1-q)L=0 e portanto L=0. Assim \lim_{n\to\infty}q^{n}=0.
Passo 4
Aplicar o fato ao nosso caso: aqui |r|=\left|\dfrac{-1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}. Observa-se que 0<\dfrac{1}{2}<1. Portanto, pela prova anterior,
\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0.
Logo a sequência dos módulos \left|a_{n}\right|=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge para 0.
Passo 5
Concluir sobre a_{n}: se \left|a_{n}\right|\to 0, então a_{n}\to 0 — isso é quase a definição de limite: \left|a_{n}-0\right|=\left|a_{n}\right|\to 0 implica que a_{n} converge para 0.
Uma demonstração \varepsilon-\delta rápida (útil para a prova): dado \varepsilon>0, como \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\to 0 existe N tal que, para todo n\ge N,
Isso satisfaz a definição de \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Passo 6
Interpretação intuitiva e check rápido dos primeiros termos (ajuda a memorizar o comportamento): os termos alternam de sinal porque a razão é negativa: