Em palavras: para qualquer tolerância \varepsilon pequena, existe um índice N tal que todos os termos a partir de N ficam a uma distância menor que \varepsilon de L. Vou provar que para a sequência dada existe tal L.
Passo 3
Observação sobre a forma da sequência — sinal e módulo:
logo a sequência \left(\frac{1}{2}\right)^n é positiva e estritamente decrescente. Além disso é limitada inferiormente por 0. Uma sequência monótona decrescente e limitada converge (teorema básico de análise).
Determinar o limite L: se existe \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n, então tomando limite na relação de recorrência
Conclusão a partir do módulo: como |a_n|=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\to 0, temos
|a_n-0|=|a_n| \xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
ou seja, a_n\to 0. Em termos simples: os sinais alternam, mas a magnitude dos termos vai para zero tão rapidamente que a alternância não impede a convergência — o limite é 0.
Passo 6
Prova \varepsilon-N direta (rigorosa, para quem gosta de detalhes):
Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que para todo n\ge N se tenha |a_n-0|<\varepsilon. Como |a_n|=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n é decrescente para 0, existe N suficientemente grande com