Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
a_{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente e demonstrar a afirmação. Ou seja:
  • Dado \,a_n=\left(\frac{-1}{2}\right)^n, preciso dizer se existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty}a_n=L.
  • Se existir, encontrar esse L e provar rigorosamente; se não existir, justificar por quê.

Passo 2

O que significa “convergente” — definição precisa (forma \varepsilon- N):
\text{A sequência }(a_n)\text{ converge para }L\quad\Longleftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N:\\ |a_n-L|<\varepsilon.ê
Em palavras: para qualquer tolerância \varepsilon pequena, existe um índice N tal que todos os termos a partir de N ficam a uma distância menor que \varepsilon de L. Vou provar que para a sequência dada existe tal L.

Passo 3

Observação sobre a forma da sequência — sinal e módulo:
a_n=\left(\frac{-1}{2}\right)^n = (-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n.
Isto mostra duas coisas importantes, bem intuitivas:
  • O fator (-1)^n faz os termos alternarem de sinal (positivo, negativo, positivo, …).
  • O fator \left(\tfrac{1}{2}\right)^n é positivo e decresce para zero quando n cresce (porque 0<\tfrac{1}{2}<1).
Uma estratégia natural: estudar primeiro os módulos
|a_n|=\left(\frac{1}{2}\right)^n,
mostrar que |a_n|\to 0, e então concluir que a_n\to 0 (se o módulo tende a zero, a própria sequência tende a zero).

Passo 4

Provar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n=0 de maneira elementar.
  1. Monotonicidade e limitação: para todo n vale
0<\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n<\left(\frac{1}{2}\right)^n,
logo a sequência \left(\frac{1}{2}\right)^n é positiva e estritamente decrescente. Além disso é limitada inferiormente por 0. Uma sequência monótona decrescente e limitada converge (teorema básico de análise).
  1. Determinar o limite L: se existe \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n, então tomando limite na relação de recorrência
\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n
obtém-se
L=\frac{1}{2}L.
Subtraindo \tfrac{1}{2}L dos dois lados:
L-\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}L=0 \quad\Rightarrow\quad L=0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n=0.

Passo 5

Conclusão a partir do módulo: como |a_n|=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\to 0, temos
|a_n-0|=|a_n| \xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
ou seja, a_n\to 0. Em termos simples: os sinais alternam, mas a magnitude dos termos vai para zero tão rapidamente que a alternância não impede a convergência — o limite é 0.

Passo 6

Prova \varepsilon- N direta (rigorosa, para quem gosta de detalhes):
Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que para todo n\ge N se tenha |a_n-0|<\varepsilon. Como |a_n|=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n é decrescente para 0, existe N suficientemente grande com
\left(\frac{1}{2}\right)^N<\varepsilon.
Por exemplo, podemos tomar
N=\left\lceil\frac{\ln\varepsilon}{\ln(1/2)}\right\rceil,
pois \ln(1/2)<0 e essa escolha garante \left(\tfrac{1}{2}\right)^N<\varepsilon. Então para todo n\ge N vale
|a_n-0|=\left(\frac{1}{2}\right)^n\le\left(\frac{1}{2}\right)^N<\varepsilon,
o que confirma a definição de limite. Assim a_n\to 0.

Resposta

A sequência é convergente e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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