Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
a_{n}=\left\{\begin{array}{cc}0, & \text { se } n \text { é par } \\\ n^{2}, & \text { se } n \text { é ímpar; }\end{array}\right.ééí

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência
a_{n}=\begin{cases} 0, & \text{se \(n\) é par},\\[4pt] n^{2}, & \text{se \(n\) é ímpar} \end{cases}ééí
é convergente ou divergente, e demonstrar a afirmação.
Informações dadas:
  • Para n par, a_n=0.
  • Para n ímpar, a_n=n^2.]

Passo 2

Definição de convergência (aula rápida e necessária).
Uma sequência \{a_n\} converge para um número real L se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que
|a_n-L|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Um fato importante (e muito usado em provas): se \{a_n\} converge para L, então toda subsequência de \{a_n\} também converge para o mesmo L. A prova curta desse fato é: dado \varepsilon>0 escolher N conforme a definição para a sequência inteira; então os termos da subsequência cujos índices são \ge N também satisfazem |a_n-L|<\varepsilon, logo a subsequência converge para L.

Passo 3

Construção e análise da subsequência dos termos com índice par.
Defina a subsequência \{b_k\} por b_k=a_{2k}. Então, para todo k\in\mathbb{N},
b_k=a_{2k}=0.
Essa é uma sequência constante. Toda sequência constante com termo c converge para c. Formalmente, dado \varepsilon>0 basta escolher N=1 (ou qualquer N) e para todo k\ge N tem-se |b_k-0|=0<\varepsilon. Portanto
\lim_{k\to\infty} b_k = 0.

Passo 4

Construção e análise da subsequência dos termos com índice ímpar.
Defina a subsequência \{c_k\} por c_k=a_{2k-1}. Então
c_k = a_{2k-1} = (2k-1)^2.
Vou mostrar que \{c_k\} diverge para +\infty, isto é, para qualquer M>0 existe K tal que c_k>M para todo k\ge K. Seja M>0. Tome K qualquer inteiro maior que \sqrt{M} (por exemplo, K=\lfloor\sqrt{M}\rfloor+1). Para todo k\ge K tem-se
2k-1 \ge k \quad\text{(pois \(k\ge1\))},
logo
c_k=(2k-1)^2 \ge k^2 \ge K^2 > M.
Portanto c_k\to+\infty quando k\to\infty. Em particular, \{c_k\} não converge para nenhum número real finito.

Passo 5

Combinação das informações e conclusão lógica (sem repetir a resposta final).
Encontramos duas subsequências \{b_k\} e \{c_k\} de \{a_n\} com comportamentos incompatíveis: \{b_k\} converge para 0, enquanto \{c_k\} diverge para +\infty. Se a sequência original \{a_n\} fosse convergente para algum L\in\mathbb{R}, então ambas as subsequências deveriam convergir para o mesmo L. Mas isso é impossível porque uma subsequência tende a 0 e a outra não tende a nenhum número real (tende a +\infty). Também é impossível que \{a_n\} tenda a +\infty, pois a subsequência par é constantemente 0. Essas contradições mostram que \{a_n\} não converge.

Resposta

Divergente.

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