Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
é convergente ou divergente, e demonstrar a afirmação.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Para
par, . - Para
ímpar, .]
Passo 2
Definição de convergência (aula rápida e necessária).
Uma sequência converge para um número real
se, e somente se, para todo
existe
tal que
Uma sequência
Um fato importante (e muito usado em provas): se
converge para
, então toda subsequência de
também converge para o mesmo
. A prova curta desse fato é: dado
escolher
conforme a definição para a sequência inteira; então os termos da subsequência cujos índices são
também satisfazem
, logo a subsequência converge para
.
Passo 3
Construção e análise da subsequência dos termos com índice par.
Defina a subsequência por
. Então, para todo
,
Defina a subsequência
Essa é uma sequência constante. Toda sequência constante com termo
converge para
. Formalmente, dado
basta escolher
(ou qualquer
) e para todo
tem-se
. Portanto
Passo 4
Construção e análise da subsequência dos termos com índice ímpar.
Defina a subsequência por
. Então
Defina a subsequência
Vou mostrar que
diverge para
, isto é, para qualquer
existe
tal que
para todo
. Seja
. Tome
qualquer inteiro maior que
(por exemplo,
). Para todo
tem-se
logo
Portanto
quando
. Em particular,
não converge para nenhum número real finito.
Passo 5
Combinação das informações e conclusão lógica (sem repetir a resposta final).
Encontramos duas subsequências e
de
com comportamentos incompatíveis:
converge para
, enquanto
diverge para
. Se a sequência original
fosse convergente para algum
, então ambas as subsequências deveriam convergir para o mesmo
. Mas isso é impossível porque uma subsequência tende a
e a outra não tende a nenhum número real (tende a
). Também é impossível que
tenda a
, pois a subsequência par é constantemente
. Essas contradições mostram que
não converge.
Encontramos duas subsequências
Resposta
Divergente.