Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação.
a_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência \,a_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\, é convergente ou divergente e demonstrar a afirmação. Informações dadas:
  • A sequência é definida por uma soma: \,a_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\,.
  • O índice de soma é i variando de 1 até n, mas o termo dentro da soma é \frac{1}{n^{2}}, que não depende de i.

Passo 2

Simplificar a expressão da sequência. Como o termo \frac{1}{n^{2}} não depende de i, somamos o mesmo número n vezes. Logo,
a_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}} = n\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Agora simplificamos o produto:
a_{n}= \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n}.
Portanto a sequência original é igual à sequência clássica \,a_{n}=\dfrac{1}{n}\,.

Passo 3

Interpretar o comportamento intuitivo de \,a_{n}=\dfrac{1}{n}. Para n=1,2,3,\dots os termos são positivos e vão ficando menores: \dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dots. Intuitivamente esses termos se aproximam de 0. Agora vamos provar rigorosamente que \,a_{n}\to 0 quando n\to\infty.

Passo 4

Lembrando a definição de limite de sequência (explicação didática): dizer que \,a_{n}\to L\, significa que para todo \varepsilon>0 (por menor que seja), existe um N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N temos |a_{n}-L|<\varepsilon. Aqui queremos mostrar que L=0 satisfaz essa definição.

Passo 5

Prova \varepsilon- N de que \,a_{n}=\dfrac{1}{n}\to 0.
Seja dado um \varepsilon>0. Queremos um N tal que, para todo n\ge N,
\left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon.
Mas \left|\dfrac{1}{n}\right|=\dfrac{1}{n} porque \dfrac{1}{n}>0. Então basta garantir \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Isso acontece sempre que n>\dfrac{1}{\varepsilon}. Portanto podemos escolher, por exemplo,
N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Com essa escolha, para todo n\ge N vale n\ge \dfrac{1}{\varepsilon}, então
\frac{1}{n} \le \frac{1}{N} \le \varepsilon,
o que dá \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon. Isso completa a prova de que \dfrac{1}{n}\to 0.

Passo 6

Comentário extra (útil na prova e na prova em prova oral): outra maneira curta é usar o Teorema do Aperto (squeeze): para todo n tem 0\le \dfrac{1}{n}\le 1 e como o maior limite possível aqui é 0 quando comparado com sequências que tendem a 0, fica claro que \dfrac{1}{n}\to 0. Mas a prova \varepsilon- N acima é a forma padrão e totalmente rigorosa.

Resposta

A sequência é convergente e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

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