Diga se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Demonstre a sua afirmação. a_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}}.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}
e pede para dizer se essa sequência é convergente ou divergente, com demonstração. As informações relevantes: o somando dentro da soma é \dfrac{1}{n^{2}}, que não depende do índice i; a soma vai de i=1 até i=n. A pergunta é: a sequência (a_n)_{n\ge1} converge? Em caso afirmativo, qual é o limite?
Passo 2
Interpretar a soma: quando numa soma indexada o termo somado é uma constante em relação ao índice, há uma simplificação direta. Regra geral: se c é constante então
\sum_{i=1}^{n} c = n\cdot c.
No nosso caso o termo somado é \dfrac{1}{n^{2}}, que não depende de i. Portanto podemos aplicar a regra com c=\dfrac{1}{n^{2}} e obter:
Então a sequência dada é simplesmente a_{n}=\dfrac{1}{n} para todo n\ge1. (Observação prática: muitos erros nesse tipo de questão vêm de ler a soma como \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2}; aqui, pelo enunciado, o denominador é n^2 e não depende de i.)
Passo 4
Agora vamos mostrar rigorosamente que \dfrac{1}{n} converge para 0. Vou usar a definição clássica de limite de sequência (prova é a técnica que cai na prova): dizemos que \lim_{n\to\infty} a_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\varepsilon. Aqui queremos provar que L=0 funciona para a_n=\dfrac{1}{n}.
Passo 5
Prova \varepsilon-N:
Seja fixo um \varepsilon>0. Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon.
Note que \left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n} porque \dfrac{1}{n}>0. Basta então garantir \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Uma escolha natural é tomar
N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil,
isto é, o menor inteiro maior ou igual a \dfrac{1}{\varepsilon}. Com essa escolha temos N\ge \dfrac{1}{\varepsilon}, logo para todo n\ge N vale n\ge N\ge \dfrac{1}{\varepsilon}, portanto
\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}\le\varepsilon.
Assim para todo n\ge N obtemos \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon. Isso prova, pela definição, que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Passo 6
Comentário intuitivo e alternativa curta: a sequência \dfrac{1}{n} é positiva, decrescente e limitada inferiormente por 0; portanto tende a 0. A prova \varepsilon-N acima é a versão formal que costuma ser exigida em provas.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.