Dê dois exemplos de sequências convergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20 .

Passo 1

O enunciado que você colocou é curto: “Dê dois exemplos de sequências convergentes diferentes daquelas que constam no exercício 20.”
Informações que temos:
  • Pedido: fornecer dois exemplos de sequências convergentes.
  • Condição extra: elas devem ser diferentes daquelas do exercício 20.
    Informação que falta (crucial): não foi enviada a lista de sequências do exercício 20, portanto não há como garantir que as sequências que eu escolher sejam de fato diferentes daquelas do exercício 20. Vou, mesmo assim, fornecer duas sequências simples e bem diferentes entre si e provar que cada uma converge, explicando passo a passo como justificar isso — mas atenção: não posso assegurar que elas sejam diferentes das do exercício 20 porque esse exercício não foi enviado.

Passo 2

Lembrando o que significa “sequência convergente” (a definição que normalmente cai na prova). Seja uma sequência (x_n)_{n=1}^\infty. Dizemos que (x_n) converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n - L| < \varepsilon.
Isto é a definição \varepsilon- N. Na prática, para as sequências mais comuns usa-se essa definição diretamente para construir N, ou então regras de limites (ex.: soma, produto, constante vezes sequência, limite de uma sequência geométrica) para concluir o limite sem repetir a prova \varepsilon- N toda vez.

Passo 3

Primeiro exemplo (clássico): tomar
a_n=\frac{1}{n}.
Intuição: à medida que n cresce, 1/n fica cada vez menor — tende a zero. Vamos provar com a definição \varepsilon- N.
Prova:
  • Queremos mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n = 0, isto é, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, se n\ge N, então |a_n-0|<\varepsilon.
  • Note que |a_n-0|=\left|\dfrac{1}{n}\right|=\dfrac{1}{n}.
  • Dado \varepsilon>0, escolhemos N qualquer inteiro com
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Isso é possível porque há inteiros arbitrariamente grandes.
  • Se n\ge N então n>1/\varepsilon, logo \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Portanto |a_n-0|<\varepsilon.
  • Conclusão: \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty.
Dica prática para prova na prova: normalmente basta mostrar a linha \dfrac{1}{n}<\varepsilon para n>1/\varepsilon e dizer "pegue N=\lceil 1/\varepsilon\rceil". Isso é aceitável e rápido.

Passo 4

Segundo exemplo (com limite diferente de zero): tomar
b_n=1-\frac{1}{n}.
Intuição: subtrai-se um pequeno número \tfrac{1}{n} de 1; quando n cresce esse pequeno número vai a 0, então a sequência tende a 1. Outra forma comum é b_n=\dfrac{n}{n+1}, que é equivalente e também tende a 1; aqui usamos 1-\tfrac{1}{n} por ser bem direto.
Prova:
  • Queremos mostrar que \lim_{n\to\infty} b_n = 1, isto é, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, se n\ge N, então |b_n-1|<\varepsilon.
  • Calcule |b_n-1|=\left|1-\frac{1}{n}-1\right|=\left|-\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.
  • Isso é igual ao caso anterior: dado \varepsilon>0 escolhe-se N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Para n\ge N obtemos |b_n-1|=\dfrac{1}{n}<\varepsilon.
  • Conclusão: 1-\dfrac{1}{n}\to 1 quando n\to\infty.
Observação rápida: outra justificativa (mais algébrica) é notar que
1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}=\frac{n}{n+0}-\frac{1}{n}\to 1-0=1,
mas a prova \varepsilon- N acima é mínima e direta.

Passo 5

Algumas regras e dicas que te ajudam a criar e reconhecer sequências convergentes na prova (mastigado e prático):
  • Sequência geométrica: \left(r^n\right) converge para 0 se |r|<1. Ex.: \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0.
  • Regras de limites: se x_n\to L e y_n\to M então x_n+y_n\to L+M, x_n y_n\to LM e, se M\neq 0, x_n/y_n\to L/M. Isso te poupa de refazer provas \varepsilon- N.
  • Fácil jeito de construir uma sequência que converge para qualquer número L: use L+\dfrac{1}{n} (tende a L) ou L+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.
  • Sequências alternantes podem convergir: por exemplo \dfrac{(-1)^n}{n}\to 0 (porque magnitude \dfrac{1}{n}\to 0).
  • Para provas rápidas na prova: quando vir expressão com \dfrac{1}{n}, normalmente ela vai a zero e você pode usar N=\lceil 1/\varepsilon\rceil.
Força aí — essas duas sequências são bem padrão, fáceis de justificar e ótimas para treinar a técnica \varepsilon- N.

Resposta

a_n=\dfrac{1}{n}, com \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0
b_n=1-\dfrac{1}{n}, com \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=1

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