Diga se as séries abaixo convergem aboslutamente, condicionalmente, ou são digergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Precisamos entender se a soma das parcelas da série dá um número específico ou não, e se isso acontece de forma “forte” (absoluta) ou apenas “fraca” (condicional).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos somar os valores absolutos de cada termo da série e ver se a soma converge. Ou seja, vamos analisar a série:
Agora, vamos simplificar ln (1+2n). Para valores grandes de n, podemos usar a aproximação ln(1 + x) approx x quando x é pequeno. Assim:
ln (1+2n) approx 2n
Isso nos leva a comparar a série sum ln (1+2n) com a série sum 2n. Sabemos que sum 1n é a série harmônica, que diverge. Portanto, a nossa série de valores absolutos também diverge, já que está comparando com uma série que não soma a um número finito.
Passo 3
Como a série de valores absolutos diverge, ela não converge absolutamente. Mas ainda podemos verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se:
Os termos an são positivos.
an está diminuindo: an+1 <= an para todo n.
limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = ln (1+2n).
Vamos verificar os critérios:
Positividade:ln (1+2n) > 0 para todo n >= 1.
Decrecente: Conforme n aumenta, 2n diminui, então ln (1+2n) também diminui.
Limite:limn to infty ln (1+2n) = ln(1 + 0) = 0.
Todos os critérios são atendidos, então a série converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n ln (1+2n)converge condicionalmente.