Questão 10. Uma industria emprega três planos analíticos para criar e desenvolver certo produto. Devido aos custos, os três planos são usados em momentos variados. Na verdade, os planos 1,2 e 3 são usados para 30 %, 20 % e 50 % dos produtos, respectivamente. O índice de defeitos é diferente para os três procedimentos: i e , onde é a probabilidade de um produto apresentar defeitos, dado o plano . se selecionarmos um produto aleatoriamente e observamos que ele apresenta defeitos, qual foi provavelmente o plano usado e, em consequência, responsável pelo defeito? R: plano 3

Passo 1

Resumo da questão: temos três planos de produção (P₁, P₂ e P₃) usados em frações de 30%, 20% e 50%, respectivamente, e temos as probabilidades de defeito condicionais P(D|P₁)=0,01, P(D|P₂)=0,03 e P(D|P₃)=0,02. A pergunta é: ao escolher um produto defeituoso, qual plano foi provavelmente usado? Vamos usar Teorema de Bayes.

Passo 2

Definindo variáveis e recordando Teorema de Bayes: seja P_i o evento “produto feito pelo plano i” e D o evento “produto defeituoso”. O que queremos é P(P_i|D). Pelo Teorema de Bayes temos:
P(Pimid D) = P(Dmid Pi) cdot P(Pi)P(D)
Para isso, precisamos primeiro achar P(D) usando a Lei da Probabilidade Total.

Passo 3

Calculando P(D) pela Lei da Probabilidade Total:
P(D) = P(Dmid P1),P(P1) + P(Dmid P2),P(P2) + P(Dmid P3),P(P3)
Substituindo os valores:
P(D) = 0,01cdot0,30 + 0,03cdot0,20 + 0,02cdot0,50
P(D) = 0,003 + 0,006 + 0,010 = 0,019

Passo 4

Calculando as probabilidades condicionais P(P_i|D): para cada i fazemos
P(P1mid D) = 0,01cdot0,300,019 approx 0,1579,
P(P2mid D) = 0,03cdot0,200,019 approx 0,3158,
P(P3mid D) = 0,02cdot0,500,019 approx 0,5263

Passo 5

Comparando as probabilidades: vemos que P(P₃|D) ≈ 0,5263 é a maior. Ou seja, dado que o produto saiu defeituoso, ele provavelmente foi produzido pelo plano 3.

Resposta

O plano 3

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