Questão 10. Uma industria emprega três planos analíticos para criar e desenvolver certo produto. Devido aos custos, os três planos são usados em momentos variados. Na verdade, os planos 1,2 e 3 são usados para
e
dos produtos, respectivamente. O índice de defeitos é diferente para os três procedimentos:
e
, onde
é a probabilidade de um produto apresentar defeitos, dado o plano
. se selecionarmos um produto aleatoriamente e observamos que ele apresenta defeitos, qual foi provavelmente o plano usado e, em consequência, responsável pelo defeito? R: plano 3
Passo 1
Resumo da questão: temos três planos de produção (P₁, P₂ e P₃) usados em frações de 30%, 20% e 50%, respectivamente, e temos as probabilidades de defeito condicionais P(D|P₁)=0,01, P(D|P₂)=0,03 e P(D|P₃)=0,02. A pergunta é: ao escolher um produto defeituoso, qual plano foi provavelmente usado? Vamos usar Teorema de Bayes.
Passo 2
Definindo variáveis e recordando Teorema de Bayes: seja P_i o evento “produto feito pelo plano i” e D o evento “produto defeituoso”. O que queremos é P(P_i|D). Pelo Teorema de Bayes temos:
Para isso, precisamos primeiro achar P(D) usando a Lei da Probabilidade Total.
Passo 3
Calculando P(D) pela Lei da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando as probabilidades condicionais P(P_i|D): para cada i fazemos
Passo 5
Comparando as probabilidades: vemos que P(P₃|D) ≈ 0,5263 é a maior. Ou seja, dado que o produto saiu defeituoso, ele provavelmente foi produzido pelo plano 3.
Resposta
O plano 3