Diga de convergem as sequèncias:
(an)=((n+2n+1)^2 n)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: temos a sequência $ a_n = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{2n} $ e queremos saber se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico à medida que $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observamos que:
n+2n+1 = 1 + 1n+1
Isso facilita nossa análise porque agora temos algo na forma $ 1 + \frac{1}{k} $, que sabemos que tem um comportamento conhecido quando $ k $ cresce.

Passo 3

Agora, reescrevemos a sequência usando essa simplificação:
an = (1 + 1n+1)^2n
A ideia aqui é relacionar isso com a famosa expressão $ \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k $, que sabemos que tende a $ e $ quando $ k $ vai para o infinito.

Passo 4

Para aproximar nossa expressão a essa forma conhecida, vamos ajustar o expoente:
an = [(1 + 1n+1)^n+1]^2nn+1
Perceba que $ \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} $ tende a $ e $ conforme $ n $ cresce.

Passo 5

Agora, vamos analisar o expoente $ \frac{2n}{n+1} $. Simplificando:
2nn+1
Isso significa que o expoente está se aproximando de 2 à medida que $ n $ aumenta.

Passo 6

Com isso, podemos substituir os limites encontrados:
an approx e^2
Portanto, a sequência está se aproximando de $ e^2 $ conforme $ n $ cresce.

Resposta

A sequência $ a_n = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{2n} $ converge para $ e^2 $.

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