Diga de convergem as sequèncias:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: temos a sequência $ a_n = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{2n} $ e queremos saber se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico à medida que $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observamos que:
Isso facilita nossa análise porque agora temos algo na forma $ 1 + \frac{1}{k} $, que sabemos que tem um comportamento conhecido quando $ k $ cresce.
Passo 3
Agora, reescrevemos a sequência usando essa simplificação:
A ideia aqui é relacionar isso com a famosa expressão $ \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k $, que sabemos que tende a $ e $ quando $ k $ vai para o infinito.
Passo 4
Para aproximar nossa expressão a essa forma conhecida, vamos ajustar o expoente:
Perceba que $ \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} $ tende a $ e $ conforme $ n $ cresce.
Passo 5
Agora, vamos analisar o expoente $ \frac{2n}{n+1} $. Simplificando:
Isso significa que o expoente está se aproximando de 2 à medida que $ n $ aumenta.
Passo 6
Com isso, podemos substituir os limites encontrados:
Portanto, a sequência está se aproximando de $ e^2 $ conforme $ n $ cresce.
Resposta
A sequência $ a_n = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{2n} $ converge para $ e^2 $.