Diga qual o supremo e o ínfimo da função abaixo.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{1} \quad f(x)=\cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_1 definida por f(x)=\cos x para todo x\in\mathbb{R}.
O que se pede: determinar o supremo e o ínfimo do conjunto imagem de f, isto é, os menores limites superior e inferior possíveis para os valores de \cos x quando x varia em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar o que são supremo e ínfimo (rapidinho e com calma).
  • Supremo: para um conjunto S\subset\mathbb{R}, um número u é um cota superior se \forall s\in S vale s\le u. O supremo de S é o menor dos cotas superiores (o mínimo entre todos os números que são cotas superiores). Se o supremo pertence a S, então ele é o máximo de S.
  • Ínfimo: analogamente, l é uma cota inferior de S se \forall s\in S vale l\le s. O ínfimo é a maior das cotas inferiores; se o ínfimo pertence a S, então ele é o mínimo de S.
    Vou aplicar essas definições ao conjunto imagem f(\mathbb{R})=\{\cos x: x\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Primeiro vou mostrar que todos os valores de \cos x ficam entre -1 e 1. Uso a identidade trigonométrica conhecida (que vale para todo x):
\cos^2 x + \sin^2 x = 1.
Dessa igualdade vem imediatamente \cos^2 x \le 1 porque \sin^2 x \ge 0. Como \cos^2 x \le 1, então |\cos x| \le 1. E |\cos x|\le 1 é equivalente a
-1 \le \cos x \le 1.
Portanto \,1 é uma cota superior para o conjunto imagem e -1 é uma cota inferior.

Passo 4

Agora preciso verificar se existe alguma cota superior menor que 1 (ou alguma cota inferior maior que -1), ou seja, se 1 e -1 são as melhores cotas possíveis. Para isso é suficiente observar que a função \cos x atinge exatamente os valores 1 e -1 em alguns pontos concretos:
  • Para todo inteiro k vale \cos(2k\pi)=1. Logo o valor 1 pertence ao conjunto imagem, isto é, existe x tal que \cos x=1. Assim 1 é um mínimo entre as cotas superiores — não existe cota superior menor que 1 que ainda seja maior ou igual a todos os valores de \cos x. Consequência: 1 é o supremo e, como pertence à imagem, também é o máximo.
  • Para todo inteiro k vale \cos((2k+1)\pi)=-1. Logo o valor -1 pertence ao conjunto imagem, isto é, existe x tal que \cos x=-1. Assim -1 é a maior das cotas inferiores — não existe cota inferior maior que -1 que ainda seja menor ou igual a todos os valores de \cos x. Consequência: -1 é o ínfimo e, como pertence à imagem, também é o mínimo.

Passo 5

Resumo intuitivo e dica de memorização: a função cosseno toma todos os valores entre -1 e 1 (porque no círculo trigonométrico a abscissa varia entre esses extremos) e atinge os extremos: 1 em 0,2\pi,4\pi,\dots e -1 em \pi,3\pi,\dots. Então os melhores limites superior e inferior são exatamente esses extremos.

Resposta

\sup f = 1
\inf f = -1

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