Diga qual o supremo e o ínfimo da função abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para todo
.
O que se pede: determinar o supremo e o ínfimo do conjunto imagem de , isto é, os menores limites superior e inferior possíveis para os valores de
quando
varia em
.
O que se pede: determinar o supremo e o ínfimo do conjunto imagem de
Passo 2
Vamos lembrar o que são supremo e ínfimo (rapidinho e com calma).
- Supremo: para um conjunto
, um número é um cota superior se vale . O supremo de é o menor dos cotas superiores (o mínimo entre todos os números que são cotas superiores). Se o supremo pertence a , então ele é o máximo de . - Ínfimo: analogamente,
é uma cota inferior de se vale . O ínfimo é a maior das cotas inferiores; se o ínfimo pertence a , então ele é o mínimo de .
Vou aplicar essas definições ao conjunto imagem.
Passo 3
Primeiro vou mostrar que todos os valores de
ficam entre
e
. Uso a identidade trigonométrica conhecida (que vale para todo
):
Dessa igualdade vem imediatamente
porque
. Como
, então
. E
é equivalente a
Portanto
é uma cota superior para o conjunto imagem e
é uma cota inferior.
Passo 4
Agora preciso verificar se existe alguma cota superior menor que
(ou alguma cota inferior maior que
), ou seja, se
e
são as melhores cotas possíveis. Para isso é suficiente observar que a função
atinge exatamente os valores
e
em alguns pontos concretos:
- Para todo inteiro
vale . Logo o valor pertence ao conjunto imagem, isto é, existe tal que . Assim é um mínimo entre as cotas superiores — não existe cota superior menor que que ainda seja maior ou igual a todos os valores de . Consequência: é o supremo e, como pertence à imagem, também é o máximo. - Para todo inteiro
vale . Logo o valor pertence ao conjunto imagem, isto é, existe tal que . Assim é a maior das cotas inferiores — não existe cota inferior maior que que ainda seja menor ou igual a todos os valores de . Consequência: é o ínfimo e, como pertence à imagem, também é o mínimo.
Passo 5
Resumo intuitivo e dica de memorização: a função cosseno toma todos os valores entre
e
(porque no círculo trigonométrico a abscissa varia entre esses extremos) e atinge os extremos:
em
e
em
. Então os melhores limites superior e inferior são exatamente esses extremos.