Mostre que o conjunto X=\{a+b \sqrt{2}, a, b \in Q\}, onde Q é o conjunto dos racionais, é um conjunto enumerável.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
X=\{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}
e pede para mostrar que X é enumerável. Informações dadas e pedidos, listados claramente:
  • Dados: \mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais; a e b variam em \mathbb{Q}.
  • Pedido: provar que o conjunto X é enumerável (isto é, que seus elementos podem ser listados em uma sequência, possivelmente infinita, sem deixar nenhum de fora).

Passo 2

O que significa “enumerável” exatamente? Vou explicar de um jeito prático e sem formalismo exagerado.
  • Dizemos que um conjunto S é enumerável (ou contável) se existe uma sequência que lista todos os seus elementos, isto é, se existe uma função sobrejetora da enumeração natural para S. Em linguagem alternativa e equivalente: S é enumerável se é finito ou tem a mesma quantidade de elementos que \mathbb{N} (os naturais).
  • Ideia que vou usar (sem resolver ainda): se eu conseguir estabelecer uma correspondência simples entre X e um conjunto que já sabemos enumerável, então X também será enumerável. Não vou decidir o método final aqui; só deixei claro o objetivo.

Passo 3

Primeiro fato útil (e que vamos precisar): \mathbb{Q} é enumerável. Vou provar isso de forma didática e curta.
  • Plano: representar cada racional como uma fração inteira \dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}_{>0}. Logo, \mathbb{Q} está contido em \mathbb{Z}\times\mathbb{N}.
  • Passo intermediário: mostrar que \mathbb{Z} e \mathbb{N}\times\mathbb{N} são enumeráveis.
    • \mathbb{Z} é enumerável porque se pode listar os inteiros como 0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots. Assim há uma sequência que percorre todos os inteiros.
    • \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável pelo método da diagonalização: organize pares (m,n) numa grade e percorra as diagonais (por exemplo, (1,1), (1,2),(2,1), (1,3),(2,2),(3,1),\dots). Isso lista todos os pares sem repetir nenhum.
  • Conclusão dessa etapa: como \mathbb{Z} é enumerável, \mathbb{Z}\times\mathbb{N} também é enumerável (produto de dois conjuntos enumeráveis é enumerável — pode-se compor as enumerações). E \mathbb{Q} é imagem (subconjunto) de \mathbb{Z}\times\mathbb{N} pelo mapeamento (p,q)\mapsto p/q (tomando q>0). Logo \mathbb{Q} é enumerável (pode-se enumerar todas as frações e, se necessário, pular repetições).

Passo 4

Agora um fato útil que também vou usar: se A e B são conjuntos enumeráveis então A\times B é enumerável. Vou justificar de maneira explícita e prática.
  • Seja f:\mathbb{N}\to A e g:\mathbb{N}\to B enumerações (ou seja, funções sobrejetoras). Então podemos enumerar A\times B pela sequência (f(1),g(1)),(f(1),g(2)),(f(2),g(1)),(f(1),g(3)),(f(2),g(2)),(f(3),g(1)),\dotsque percorre os pares (f(i),g(j)) na ordem das diagonais. Como essa sequência atinge todos os pares, A\times B é enumerável.
  • Aplicação: como \mathbb{Q} é enumerável (Passo 3), o produto \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} também é enumerável.

Passo 5

Agora vou relacionar X com \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}. Defina a função
\varphi:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\longrightarrow X,\qquad \varphi(a,b)=a+b\sqrt{2}.
Vou mostrar que \varphi é bijetora (uma bijeção), o que dará imediatamente que X tem a mesma cardinalidade de \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} e, portanto, é enumerável.

Passo 6

Verificação de sobrejetividade (cada elemento de X vem de algum par (a,b)).
  • Por definição de X, todo elemento x\in X é da forma x=a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Q}. Logo existe (a,b) tal que \varphi(a,b)=x. Portanto \varphi é sobrejetora.

Passo 7

Verificação de injetividade (se \varphi(a,b)=\varphi(c,d) então (a,b)=(c,d)).
  • Suponha que \varphi(a,b)=\varphi(c,d). Então a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}.Subtraindo os termos racionais de ambos os lados obtemos a-c=(d-b)\sqrt{2}.O lado esquerdo a-c é racional, pois é diferença de racionais. Assim temos uma igualdade entre um racional e outro racional multiplicado por \sqrt{2}.
  • Aqui precisamos usar que \sqrt{2} é irracional. Vou provar isso brevemente (prova clássica por contradição):
    • Suponha, para contradizer, que \sqrt{2} fosse racional. Então \sqrt{2}=p/q para alguns inteiros p,q sem fator comum, q>0.
    • Elevando ao quadrado: 2=p^2/q^2, logo p^2=2q^2. Isso mostra que p^2 é par, logo p é par; escreva p=2k.
    • Substituindo: (2k)^2=2q^2 4k^2=2q^2 e dividindo por 2: 2k^2=q^2. Assim q^2 é par, então q é par.
    • Conclusão: p e q são ambos pares, o que contraria a hipótese de serem primos entre si. Contradição. Logo \sqrt{2} é irracional.
  • Voltando à igualdade a-c=(d-b)\sqrt{2}: a única maneira de um número racional ser igual ao produto de outro racional com um número irracional é que ambos os racionais sejam zero. Mais formalmente, se r\in\mathbb{Q} e s\in\mathbb{Q} satisfazem r=s\sqrt{2}, então se s\neq 0 teríamos \sqrt{2}=r/s racional, impossibilidade. Logo s=0 e então r=0.
  • Aplicando isso aqui: d-b=0 e a-c=0. Logo a=c e b=d. Assim \varphi é injetora.

Passo 8

Da Passo 6 e Passo 7 temos que \varphi é bijetora entre \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} e X. Portanto X tem exatamente a mesma cardinalidade que \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}.
  • Como mostrados antes, \mathbb{Q} é enumerável e o produto de dois conjuntos enumeráveis é enumerável. Logo \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é enumerável.
  • Conclusão final: X é enumerável.

Resposta

X é enumerável.

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