Determine o traço da superfície dada nos planos
,
. Identifique a superfície e faça um esboço dela.
Passo 1
O enunciado fornece a superfície dada pela equação
e pede três coisas:
- Determinar o traço da superfície no plano
, ou seja a interseção da superfície com o plano para um parâmetro arbitrário. - Determinar o traço da superfície no plano
. - Determinar o traço da superfície no plano
.
Além disso, pede identificar que tipo de superfície é e fazer um esboço dela.
Informações dadas que vamos usar:
- A equação completa da superfície:
. - O parâmetro genérico
representa uma constante real qualquer, usada para definir os planos , , .
Passo 2
O que significa "traço no plano
"? Significa: substituir
na equação da superfície e estudar a curva que sobra em termos de
e
. Mesmo raciocínio para
(curva em
) e para
(curva em
). Vou fazer cada substituição e simplificar, identificando o tipo de curva (círculo, hipérbole, ponto, vazio etc.) e condições em
quando for o caso.
Passo 3
Traço no plano
.
Substituo
na equação:
Rearranjando:
Agora escrevo na forma padrão de uma hipérbole. Dividindo os dois lados por
(note que
para todo
):
Posso também escrever como
Interpretação didática:
- Esta é uma hipérbole no plano
(o plano paralelo ao plano ). - O eixo transverso da hipérbole é na direção do eixo
(porque o termo positivo é o de ). - As assíntotas (para grandes
) satisfazem — porque os termos dominantes em dão , logo . Essas assíntotas não dependem de . - Conclusão: para qualquer valor real de
a interseção é sempre uma hipérbole (não degenerada), pois .
Passo 4
Traço no plano
.
Substituo
na equação:
Rearranjando:
Multiplicando por
:
Interpretação didática:
- O lado esquerdo é a soma de quadrados
, isto é, é a equação de um círculo (quando o lado direito é positivo). - Definindo
, temos . - Três casos, dependendo de
: - Se
então e . A interseção é um círculo de raio - Se
então e . A interseção é o ponto no plano . - Se
então e : não há pontos reais, ou seja, a interseção é vazia.
- Se
- Isso já dá uma pista forte sobre a forma da superfície: só existem interseções nos planos
quando , e para essas interseções são círculos cujo raio cresce com .
Passo 5
Traço no plano
.
Substituo
na equação:
Reorganizo:
Isto é análogo ao caso do plano
, apenas trocando
por
. Colocando na forma padrão:
Interpretação didática:
- Para qualquer
real a interseção é uma hipérbole no plano . - O eixo transverso está na direção
, e as assíntotas para grandes são . - Assim, planos verticais paralelos ao plano
também cortam a superfície em hipérboles.
Passo 6
Identificação da superfície (forma canônica e comportamento).
Faço uma manipulação para deixar a equação em forma canônica. Dividindo a equação original por
:
Reescrevo:
Interpretação passo a passo:
- Temos um termo positivo
e dois termos com sinal negativo e , e o lado direito é . - Essa disposição de sinais (um coeficiente positivo e dois negativos) com RHS
corresponde a um hiperboloide de duas folhas (dois “potes” separados), cujo eixo está na direção do termo com sinal positivo — aqui o eixo é o eixo . - Verificação prática: colocando
e obtemos , ou seja dois pontos e . Além disso, para não existem pontos reais (pois a expressão à direita exigiria negativo), o que significa que a superfície não existe entre essas duas alturas — isso caracteriza exatamente as duas folhas separadas. - Para uma seção constante
com obtemos, como vimos, o círculo cujo raio é . Assim, a folha superior (com ) cresce em raio à medida que aumenta; a folha inferior (com ) é simétrica por reflexão.
Portanto a superfície é um hiperboloide de duas folhas, com:
- eixo de simetria no eixo
; - vértices (os pontos mais próximos do plano
) em e ; - cortes horizontais
const são círculos quando e inexistentes quando ; - cortes verticais
const ou const são hipérboles que abrem no sentido de , com assíntotas (no caso ) ou (no caso ).
Passo 7
Como esboçar a superfície (passo a passo prático para uma prova):
- Desenhar sistemas de eixos
com vertical (ou escolher na vertical para facilitar visualização). - Marcar os vértices
e . - Em vários níveis
(por exemplo ) desenhar círculos centrados no eixo com raios — por o círculo tem raio , para o raio é etc. Fazer o mesmo simetricamente para . - Unir esses círculos suavemente formando duas superfícies tipo “taça” ou “copos” simétricos em torno do eixo
, uma acima (para ) e outra abaixo (para ). - Se quiser reforçar o esboço, desenhar em um plano vertical (por exemplo o plano
) a hipérbole dada por que mostra a abertura das folhas e as assíntotas .
Dica de interpretação visual: imagine dois “copos” idênticos, um apontando para cima com base em
e outro apontando para baixo com base em
; ao aumentar
os “copos” alargam-se.
Resposta
Traço em
:
, que é uma hipérbole no plano
(válida para todo
).\n
Traço em :
. Para
é um círculo de raio
; para
é o ponto
; para
não há interseção (vazio).\n
Traço em :
, que é uma hipérbole no plano
(válida para todo
).\n
Identificação da superfície: é um hiperboloide de duas folhas, com eixo no -axis e vértices em
.
Traço em
Traço em
Identificação da superfície: é um hiperboloide de duas folhas, com eixo no