Determine o traço da superfície dada nos planos x=k, y=k, z=k. Identifique a superfície e faça um esboço dela.
-x^{2}+4 y^{2}-z^{2}=4

Passo 1

O enunciado fornece a superfície dada pela equação
- x^{2} + 4 y^{2} - z^{2} = 4
e pede três coisas:
  • Determinar o traço da superfície no plano \,x=k, ou seja a interseção da superfície com o plano \,x=k para um parâmetro \,k arbitrário.
  • Determinar o traço da superfície no plano \,y=k.
  • Determinar o traço da superfície no plano \,z=k.
    Além disso, pede identificar que tipo de superfície é e fazer um esboço dela.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação completa da superfície: - x^{2} + 4 y^{2} - z^{2} = 4.
  • O parâmetro genérico \,k representa uma constante real qualquer, usada para definir os planos \,x=k, \,y=k, \,z=k.

Passo 2

O que significa "traço no plano \,x=k"? Significa: substituir \,x=k na equação da superfície e estudar a curva que sobra em termos de \,y e \,z. Mesmo raciocínio para \,y=k (curva em x,z) e para \,z=k (curva em x,y). Vou fazer cada substituição e simplificar, identificando o tipo de curva (círculo, hipérbole, ponto, vazio etc.) e condições em \,k quando for o caso.

Passo 3

Traço no plano \,x=k.
Substituo \,x=k na equação:
- k^{2} + 4 y^{2} - z^{2} = 4.
Rearranjando:
4 y^{2} - z^{2} = 4 + k^{2}.
Agora escrevo na forma padrão de uma hipérbole. Dividindo os dois lados por 4+k^{2} (note que 4+k^{2}>0 para todo k):
\frac{4 y^{2}}{4+k^{2}} - \frac{z^{2}}{4+k^{2}} = 1.
Posso também escrever como
\frac{y^{2}}{\dfrac{4+k^{2}}{4}} - \frac{z^{2}}{4+k^{2}} = 1.
Interpretação didática:
  • Esta é uma hipérbole no plano x=k (o plano paralelo ao plano yz).
  • O eixo transverso da hipérbole é na direção do eixo y (porque o termo positivo é o de y^{2}).
  • As assíntotas (para grandes |y|) satisfazem z\approx \pm 2y — porque os termos dominantes em 4y^{2}-z^{2}=C dão z^{2}\approx 4y^{2}, logo z\approx\pm 2y. Essas assíntotas não dependem de k.
  • Conclusão: para qualquer valor real de \,k a interseção é sempre uma hipérbole (não degenerada), pois 4+k^{2}>0.

Passo 4

Traço no plano \,y=k.
Substituo \,y=k na equação:
- x^{2} + 4 k^{2} - z^{2} = 4.
Rearranjando:
- x^{2} - z^{2} = 4 - 4 k^{2}.
Multiplicando por -1:
x^{2} + z^{2} = 4 k^{2} - 4 = 4(k^{2}-1).
Interpretação didática:
  • O lado esquerdo é a soma de quadrados x^{2}+z^{2}, isto é, é a equação de um círculo (quando o lado direito é positivo).
  • Definindo R^{2}=4(k^{2}-1), temos x^{2}+z^{2}=R^{2}.
  • Três casos, dependendo de k:
    • Se |k|>1 então k^{2}-1>0 e R^{2}>0. A interseção é um círculo de raio R = 2\sqrt{k^{2}-1}.
    • Se |k|=1 então k^{2}-1=0 e R=0. A interseção é o ponto (x,z)=(0,0) no plano y=k.
    • Se |k|<1 então k^{2}-1<0 e R^{2}<0: não há pontos reais, ou seja, a interseção é vazia.
  • Isso já dá uma pista forte sobre a forma da superfície: só existem interseções nos planos y=k quando |k|\ge 1, e para |k|>1 essas interseções são círculos cujo raio cresce com |k|.

Passo 5

Traço no plano \,z=k.
Substituo \,z=k na equação:
- x^{2} + 4 y^{2} - k^{2} = 4.
Reorganizo:
4 y^{2} - x^{2} = 4 + k^{2}.
Isto é análogo ao caso do plano x=k, apenas trocando x por z. Colocando na forma padrão:
\frac{4 y^{2}}{4+k^{2}} - \frac{x^{2}}{4+k^{2}} = 1.
Interpretação didática:
  • Para qualquer k real a interseção é uma hipérbole no plano z=k.
  • O eixo transverso está na direção y, e as assíntotas para grandes |y| são x \approx \pm 2 y.
  • Assim, planos verticais paralelos ao plano xy também cortam a superfície em hipérboles.

Passo 6

Identificação da superfície (forma canônica e comportamento).
Faço uma manipulação para deixar a equação em forma canônica. Dividindo a equação original por 4:
- \frac{x^{2}}{4} + y^{2} - \frac{z^{2}}{4} = 1.
Reescrevo:
y^{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{4} = 1.
Interpretação passo a passo:
  • Temos um termo positivo \,y^{2} e dois termos com sinal negativo -\dfrac{x^{2}}{4} e -\dfrac{z^{2}}{4}, e o lado direito é 1.
  • Essa disposição de sinais (um coeficiente positivo e dois negativos) com RHS =1 corresponde a um hiperboloide de duas folhas (dois “potes” separados), cujo eixo está na direção do termo com sinal positivo — aqui o eixo é o eixo y.
  • Verificação prática: colocando x=0 e z=0 obtemos y^{2}=1, ou seja dois pontos (0,1,0) e (0,-1,0). Além disso, para |y|<1 não existem pontos reais (pois a expressão à direita exigiria x^{2}+z^{2}= negativo), o que significa que a superfície não existe entre essas duas alturas — isso caracteriza exatamente as duas folhas separadas.
  • Para uma seção constante y=\bar{y} com |\bar{y}|\ge 1 obtemos, como vimos, o círculo x^{2}+z^{2} = 4(\bar{y}^{2}-1),cujo raio é 2\sqrt{\bar{y}^{2}-1}. Assim, a folha superior (com y\ge 1) cresce em raio à medida que y aumenta; a folha inferior (com y\le -1) é simétrica por reflexão.
Portanto a superfície é um hiperboloide de duas folhas, com:
  • eixo de simetria no eixo y;
  • vértices (os pontos mais próximos do plano y=0) em (0,1,0) e (0,-1,0);
  • cortes horizontais y=const são círculos quando |y|\ge 1 e inexistentes quando |y|<1;
  • cortes verticais x=const ou z=const são hipérboles que abrem no sentido de y, com assíntotas z=\pm 2y (no caso x=k) ou x=\pm 2y (no caso z=k).

Passo 7

Como esboçar a superfície (passo a passo prático para uma prova):
  1. Desenhar sistemas de eixos x,y,z com y vertical (ou escolher y na vertical para facilitar visualização).
  2. Marcar os vértices (0,1,0) e (0,-1,0).
  3. Em vários níveis y>1 (por exemplo y=1,2,3) desenhar círculos centrados no eixo y com raios R(y)=2\sqrt{y^{2}-1} — por y=1 o círculo tem raio 0, para y=2 o raio é 2\sqrt{3} etc. Fazer o mesmo simetricamente para y<-1.
  4. Unir esses círculos suavemente formando duas superfícies tipo “taça” ou “copos” simétricos em torno do eixo y, uma acima (para y\ge 1) e outra abaixo (para y\le -1).
  5. Se quiser reforçar o esboço, desenhar em um plano vertical (por exemplo o plano x=0) a hipérbole dada por 4y^{2}-z^{2}=4 que mostra a abertura das folhas e as assíntotas z=\pm 2y.
Dica de interpretação visual: imagine dois “copos” idênticos, um apontando para cima com base em y=1 e outro apontando para baixo com base em y=-1; ao aumentar |y| os “copos” alargam-se.

Resposta

Traço em x=k: \;4y^{2}-z^{2}=4+k^{2}, que é uma hipérbole no plano x=k (válida para todo k\in\mathbb{R}).\n
Traço em y=k: \;x^{2}+z^{2}=4(k^{2}-1). Para |k|>1 é um círculo de raio 2\sqrt{k^{2}-1}; para |k|=1 é o ponto (0,0); para |k|<1 não há interseção (vazio).\n
Traço em z=k: \;4y^{2}-x^{2}=4+k^{2}, que é uma hipérbole no plano z=k (válida para todo k\in\mathbb{R}).\n
Identificação da superfície: é um hiperboloide de duas folhas, com eixo no y-axis e vértices em (0,\pm1,0).

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